En $p$ -grupos subgrupo de orden $1$ menos son siempre normales

Question

Demostrar que cualquier subgrupo de orden $p^{n-1}$ en un grupo $G$ de orden $p^n$ , $p$ un número primo, es normal en $G$ .

Observación: He encontrado el problema similar aquí, pero me gustaría completar mi solución que es diferente.

Prueba: $G$ sea un grupo de orden $p^n$ y $H$ es un subgrupo de orden $p^{n-1} $ . Sea $S=\{Hx: x\in G\}$ el conjunto de cosets derechos de $H$ en $G$ . Entonces $o(S)=i_G(H)=p$ .

Entonces es fácil demostrar que existe $\psi:G\to S_p$ donde $\psi$ es un homomorfismo y $K=\text{Ker} \psi$ es el mayor subgrupo normal de $G$ contenida en $H$ .

Dejemos que $f=\psi \mid_H$ es el mapeo $\psi$ restringido a $H$ entonces considera $f:H\to S_p$ entonces $f(H)$ es un subgrupo de $S_p$ . Así, $o(f(H))\mid p!$

También $H/\text{Ker} f \cong f(H) $ pero $\text{Ker} f=\text{Ker} \psi \cap H=\text{Ker} \psi=K$ $\Rightarrow$ $\dfrac{o(H)}{o(K)}=o(f(H))$ $\Rightarrow$ $\dfrac{p^{n-1}}{o(K)}=o(f(H))\mid p!$

Así que tenemos dos casos $o(f(H))=p^{\alpha}$ donde $\alpha\in \{0,1\}$

1) Si $\alpha=0$ entonces $o(f(H))=1$ así que $o(K)=o(H)$ y $K\subset H$ $\Rightarrow$ $K=H$ donde $H$ es normal en $G$ ya que el núcleo es siempre un subgrupo normal.

2) Si $\alpha=1$ entonces $o(f(H))=p$ y no sé cómo completar este caso.

Estaría muy agradecido si alguien puede mostrar cómo hacer en el segundo caso.

Answer 1

Como dices hay un homomorfismo $\psi$ de $G$ a $S_p$ definido por su acción sobre los cosets de $H$ . La imagen de dicho mapa es transitiva, y el orden de la imagen es una potencia de $p$ . Así, $|\psi(H)|=p$ . La imagen de $\psi$ tiene orden $p$ y es un grupo cíclico. El núcleo de $\psi$ debe ser $H$ y así $H$ es normal en $G$ .

Answer 2

Permítanme aclarar algunas cosas.

El mapa $\Psi$ se define por $\Psi(g):aH\mapsto gaH$ . Un elemento en Ker $\Psi$ tiene que fijar cada coset, en particular $H$ sí mismo: $$g\in \operatorname{Ker}\Psi\Longrightarrow gH=H\Longrightarrow g\in H$$ Por lo tanto, $\operatorname{Ker}\Psi\subset H$ .

Una consecuencia de esto es que $\operatorname{Ker}\Psi$ no es todo el grupo $G$ .

Ahora mira $G/\operatorname{Ker}\Psi\simeq \operatorname{Im}\Psi$ . Desde $G$ es un $p$ -y como $\operatorname{Ker}\Psi\neq G$ sabemos que $$|\operatorname{Im}\Psi|=p^a$$ para algunos positivo $a$ . Pero también sabemos que $p^a$ tiene que dividir el orden de $\mathfrak{S}_p$ Por lo tanto $a=1$ .

De ello se desprende que $$\dfrac{|G|}{|\!\operatorname{Ker}\Psi|}=p$$ Por lo tanto, $$|\!\operatorname{Ker}\Psi|=p^{n-1}=|H|$$

Y como $\operatorname{Ker}\Psi\subset H$ tenemos la igualdad $\operatorname{Ker}\Psi= H$ .

Por último, dado que $H$ es un núcleo, $H$ es normal.