Mostrar $\int_{0}^{\infty}f(x^2)dx$ existe si $f(x)$ es continua y $\forall a\gt 0, |\int_{0}^{a}f(x)dx| \leq M$

Question

Dada una función continua $f(x)$ y $\forall a\gt 0, |\int_{0}^{a}f(x)dx| \leq M$ , mostrar $\int_{0}^{\infty}f(x^2)dx$ existe.

Intenté sustituirlo por $t=x^2$ que me dio $\displaystyle \int_{0}^{\infty}f(x^2)dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{\sqrt t}dt$ pero no veo cómo utilizar el hecho de que $f(x)$ tiene una integral indefinida acotada en $[0, \infty)$ . Simplemente haciendo $\frac{1}{2}|\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{\sqrt t}dt|\leq \frac{M}{2}|\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt t}dt|$ no ayuda realmente porque $\int \frac{1}{\sqrt t}$ no converge en $[0, \infty)$

Después de la sustitución he probado la integración por partes (utilizando $u = \frac{1}{\sqrt t}, v' = f(t) \implies v = F(t)$ ) pero eso parece complicar aún más las cosas.

Answer 1

Si $f$ sólo se supone continua en $(0,\infty)$ entonces $\int_0^\infty {f(x^2 )dx}$ pueden divergir (considere $f$ tal que $f(x)=1/\sqrt{x}$ cerca de $0+$ ). Por lo tanto, supongamos que $f$ es continua en $[0,\infty)$ . Entonces, obviamente $\int_0^1 {f(x^2 )dx}$ existe (ya que $f$ está uniformemente acotado en $[0,1]$ ). Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar que $\int_1^\infty {f(x^2 )dx} $ existe. Ahora, después de sustituir y realizar la integración por partes como has hecho, basta con demostrar, utilizando tu notación, que $F(t)/\sqrt{t} \to 0$ como $t \to \infty$ y que $\int_1^\infty {\frac{{F(t)}}{{t^{3/2} }}} dt$ existe. Esto es claramente cierto...