Qué es la inversa de una matriz cuyos elementos diagonales son todos cero.

Question

Soy un investigador científico y tengo un problema para encontrar la inversa genérica de la siguiente matriz:

$$ A_n = \left(\begin{array}{ccc} 0 & a_2 & a_3 & ... & a_{n-1} & a_n \\ a_1 & 0 & a_3 & ... & a_{n-1} & a_n \\ a_1 & a_2 & 0 & ... & a_{n-1} & a_n \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_1 & a_2 & a_3 & ... & 0 & a_n \\ a_1 & a_2 & a_3 & ... & a_{n-1} & 0 \\ \end{array}\right) $$

He descubierto que para n=2,3

$$ A_2^{-1} = \left(\begin{array}{ccc} 0 & a_2^{-1} \\ a_1^{-1} & 0 \\ \end{array}\right) $$

$$ A_3^{-1} = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{ccc} -a_1^{-1} & a_1^{-1} & a_1^{-1} \\ a_2^{-1} & -a_2^{-1} & a_2^{-1} \\ a_3^{-1} & a_3^{-1} & -a_3^{-1} \\ \end{array}\right) $$

pero ¿podemos extenderlo a un caso general? ¿Alguien puede ayudar? Gracias.

[más tarde]

Parece que es

$$ m_{ij} = -\frac{n-2}{n-1} a_{i}^{-1}\ (i=j) $$ $$ = \frac{1}{n-1} a_{i}^{-1}(else) $$

Answer 1

Su matriz puede escribirse como $D_n + u_n \, v_n^T$ :

$$u_n = \left[ \begin{matrix} 1 & ... & 1 \end{matrix} \right]^T$$

$$v_n = \left[ \begin{matrix} a_1 & ... & a_n \end{matrix} \right]^T$$

$$D_n = - \text{diag}(v_n) = - \left[ \begin{matrix} a_1 & ... & 0 \\ \vdots & ... & \vdots \\ 0 & ... & a_n \\ \end{matrix} \right]$$

Lo que me recuerda al Fórmula Sherman-Morrison :

$$\left(A + u \, v^T\right)^{-1} = A^{-1} - {A^{-1} \, u \, v^T \, A^{-1} \over 1 + v^T \, A^{-1} \, u}$$

[EDITAR]

Su patrón parece ser correcto. Definiendo $w_n = \left[ \begin{matrix} a_1^{-1} & ... & a_n^{-1} \end{matrix} \right]^T$ :

$$ $$

$$1 + v^T \, A^{-1} \, u = 1-n$$

$$A^{-1} \, u = - w_n$$

$$ v^T \, A^{-1} = - u_n^T$$

$$\left(A + u \, v^T\right)^{-1} = - \text{diag}(w_n) - { w_n \, u_n^T \over 1-n}$$

$$ \left(A + u \, v^T\right)^{-1} = - \left[ \begin{matrix} a_1^{-1} & ... & 0 \\ \vdots & ... & \vdots \\ 0 & ... & a_n^{-1} \\ \end{matrix} \right] - \frac{1}{1-n} \left[ \begin{matrix} a_1^{-1} & ... & a_1^{-1} \\ \vdots & ... & \vdots \\ a_n^{-1} & ... & a_n^{-1} \\ \end{matrix} \right] $$

$$ $$

$$ m_{ij} = -a_{i}^{-1} -\frac{a_{i}^{-1}}{1-n} = \frac{n-2}{1-n} \, a_{i}^{-1} = - \frac{n-2}{n-1} \, a_{i}^{-1} \, (i=j) $$ $$ = -\frac{a_{i}^{-1}}{1-n} = \frac{1}{n-1} \, a_{i}^{-1} \, (else) \hphantom{aaaaaaaaaaaaaaa} $$

Answer 2

Su patrón se extiende a cualquier $n$ . Esto se puede ver multiplicando:

$$\begin{pmatrix} -(n-2)a_1^{-1} & a_1^{-1} & ... & a_1^{-1} \\ a_2^{-1} & -(n-2)a_2^{-1} & ... & a_2^{-1} \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... \\ a_n^{-1} & a_n^{-1} & ... & -(n-2)a_n^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a_2 & a_3 & ... & a_{n-1} & a_n \\ a_1 & 0 & a_3 & ... & a_{n-1} & a_n \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_1 & a_2 & a_3 & ... & a_{n-1} & 0 \end{pmatrix}=(n-1)I$$

Para $i=j$ Hay $(n-1)$ $a_i^{-1}$ en el $i$ Cada fila se multiplica por $a_i$ en el $j$ th ( $=i$ ) para dar $n-1$ .

Para $i\ne j$ Uno de los $a_i^{-1}$ se multiplica por $0$ así que, de hecho, hay $(n-2)a_i^{-1}a_j$ , anulado por un solo $(n-2)a_i^{-1}a_j$ .