¿Qué hace $\mathfrak{m}(\varprojlim R/\mathfrak{m}^i)$ ¿quieres decir?

Question

Dejemos que $\mathfrak{m}$ sea un ideal del anillo $R$ y considerarlo como un $R$ -módulo. ¿Qué hace $\mathfrak{m}(\varprojlim R/\mathfrak{m}^i)$ ¿significa? En el límite los morfismos son las proyecciones naturales.

Sé de la descripción explícita de $\varprojlim R/\mathfrak{m}^i$ , un elemento general parece:

$$(0+R,c_1+\mathfrak{m},c_2+\mathfrak{m}^2,\cdots)$$ donde $\pi(c_i+\mathfrak{m}^i)=c_{i-1}+\mathfrak{m}^{i-1}$ . Sin embargo, no veo cuál es el $\mathfrak{m}$ frente al límite lo hace?

¿Son sólo elementos de la forma

$$m(0+R,c_1+\mathfrak{m},c_2+\mathfrak{m}^2,\cdots)=(0+R,mc_1+\mathfrak{m},mc_2+\mathfrak{m}^2,\cdots)=(0+R,0+\mathfrak{m},mc_2+\mathfrak{m}^2,\cdots)$$ ¿O tal vez sean combinaciones finitas de dichos elementos? Gracias

Answer 1

Existe un mapa natural desde $R$ al límite inverso $\varprojlim (R/\mathfrak{m}^i)$ que toma cada elemento $r$ en $R$ a la secuencia con todas las entradas iguales $r$ . Ahora, $m$ es un ideal de $R$ así que $m \varprojlim (R/\mathfrak{m}^i)$ debe ser la extensión de este ideal de $R$ a $ \varprojlim (R/\mathfrak{m}^i)$ . Así que, por definición, debe ser combinación de esos elementos ( sumas). Está contenida en el ideal de $ \varprojlim (R/\mathfrak{m}^i)$ que consiste en todas las secuencias cuyos elementos están en $m$ en cada componente. En algunos casos lo hacen igual.

Answer 2

Dado un ideal $I\subseteq R$ y un $R$ -Módulo $M$ , $IM$ se define como el submódulo de $M$ generados por los productos $im$ donde $i\in I$ y $m\in M$ . Explícitamente, $IM$ es el conjunto de elementos de $M$ que puede escribirse como una suma $\sum_{k=1}^n i_k m_k$ para algunos $n\in\mathbb{N}$ , algunos $i_1,\dots,i_n\in I$ y algunos $m_1,\dots, m_n\in M$ . En este caso, $I=\mathfrak{m}$ y $M=\varprojlim R/\mathfrak{m}^i$ (con el $R$ -estructura de módulo en $M$ dado por coordenadas). Obsérvese que $\varprojlim R/\mathfrak{m}^i$ también se le puede dar la estructura de un anillo (con multiplicación por coordenadas), y también se puede describir como el ideal en $\varprojlim R/\mathfrak{m}^i$ generado por la imagen de $\mathfrak{m}$ bajo el homomorfismo $R\to \varprojlim R/\mathfrak{m}^i$ tomando un elemento $r\in R$ a $(r+R,r+\mathfrak{m},r+\mathfrak{m}^2,\dots)$ .