Intersección de dos objetos en movimiento

Question

Hay dos objetos. El primer objeto se mueve con velocidad $U_1$ desde el punto conocido $A$ al punto conocido $B$ . El segundo objeto tiene velocidad $U_2$ y parte de un punto conocido $C$ .

Cuál es la dirección que debe tener el segundo objeto para "colisionar" con el primero. La dirección debe estar definida por el punto de colisión.

http://i.imgur.com/3oY7hJi.png

Answer 1

Podemos describir la trayectoria del primer objeto como $$r_1(t) = A (1 - \lambda) + B \lambda \quad U_1 T_1 = \lvert AB \rvert \quad \lambda = t / T_1 = \frac{U_1}{\lvert AB \rvert} t$$ De forma similar obtenemos $$r_2(t) = C (1 - \mu) + D \mu \quad U_2 T_2 = \lvert CD \rvert \quad \mu = t / T_2 = \frac{U_2}{\lvert CD \rvert} t$$ para el segundo objeto que se desplaza desde $C$ hasta cierto punto $D$ , necesitando tiempo $T_2$ .

Interesante se pone si $D$ es el punto de colisión: $$D = r_1(T_2) = r_2(T_2)$$ para $T_2 \le T_1$ . Esto da $$D = A (1-\lambda) + B \lambda = A + \lambda (B-A) \quad \lambda = \frac{U_1}{\lvert AB \rvert} T_2$$ así con los vectores unitarios (el primero conocido, el segundo buscado): $$e_A = \frac{B-A}{\lvert AB \rvert} \quad e_D = \frac{D-C}{\lvert CD \rvert} = (\cos(\phi), \sin(\phi)) \\ D = C + e_D \lvert CD \rvert = C + e_D U_2 T_2 = A + e_A U_1 T_2$$

Por componente obtenemos: \begin {align} C_x - A_x &= (e_{A,x} U_1 - \cos ( \phi ) U_2) T_2 \quad (*) \\ C_y - A_y &= (e_{A,y} U_1 - \sin ( \phi ) U_2) T_2 \end {align} donde igualamos para $T_2$ : $$\frac{C_x - A_x}{e_{A,x} U_1 - \cos(\phi) U_2} = \frac{C_y - A_y}{e_{A,y} U_1 - \sin(\phi) U_2} \quad (**)$$ Suponiendo que $A \ne C$ esta es una ecuación en una incógnita $\phi$ , por lo que podría ser solucionable, si el $A$ , $C$ , $U_1$ , $U_2$ permitirlo. Como alternativa se puede utilizar $$\cos(\phi) = e_{D,x} \quad \sin(\phi) = e_{D,y} \quad e_{D,x}^2 + e_{D,y}^2 = 1$$ en la ecuación $(**)$ y tratar de resolver para $e_{D,x}$ o $e_{D,y}$ .

Cambiar el sistema de coordenadas puede simplificar lo anterior. Por ejemplo se podría trasladar y rotar de forma que $A_x = C_x$ . Esto simplificaría $(*)$ a $$\cos(\phi) = \frac{U_1}{U_2} e_{A,x}$$

Answer 2

Este diagrama muestra una solución geométrica para encontrar la dirección deseada de $\vec U_2$ . La idea aquí es que hemos cambiado todo el marco de referencia añadiendo el vector $-\vec U_1$ a todas las velocidades. En este marco, el punto $A$ es estacionario y el punto $C$ ha recibido una velocidad de $-\vec U_1$ . Queremos añadir un vector de velocidad adicional $\vec U_2$ para señalar $C$ para apuntar a un punto fijo $A$ .

Como muestra el diagrama, puede haber dos direcciones diferentes de $\vec U_2$ que sería suficiente. Esto ocurrirá si el ángulo $\theta$ entre vectores $-\vec U_1$ y $\overrightarrow{CA}$ es agudo y $|\vec U_1|\sin\theta<|\vec U_2|<|\vec U_1|$ . Debe quedar claro qué condiciones deben cumplirse para que no haya soluciones. (Esta discusión es muy similar a la explicación de los casos en la resolución del triángulo en SSA para la clase de trigonometría).

Answer 3

Problemas como éste se visualizan fácilmente en un marco de coordenadas en el que uno de los objetos está en coordenadas fijas. En este caso, podemos elegir un marco de coordenadas transformado que se mueve con $A$ , es decir, las coordenadas de $A$ en este marco de coordenadas nunca cambian.

Si $C$ tenía velocidad cero en el marco de coordenadas original (aquel en el que $A$ tiene velocidad $U_1$ en dirección a $B$ ), entonces en el marco de coordenadas transformado $C$ tendría velocidad $-U_1$ , es decir, su velocidad tendría la misma magnitud que $U_1$ pero sería en la dirección exactamente opuesta.

Cualquier velocidad $U_2$ que damos a $C$ en el marco original, en cualquier dirección, se añade a la velocidad $-U_1$ en el marco de coordenadas transformado. La velocidad resultante en el marco de coordenadas transformado, $U_2 - U_1$ puede ser un vector de $C$ a cualquier punto del círculo que se muestra en la figura siguiente. (Tenga en cuenta que $U_2 - U_1$ es el vector diferencia de dos vectores de velocidad, y no simplemente la diferencia escalar de dos velocidades).

Elija la dirección del vector $U_2$ para que $U_2 - U_1$ está en la dirección de $C$ a $A$ . Se puede encontrar dicha dirección (si la hay) encontrando la intersección del círculo de la figura con el rayo desde $C$ a través de $A$ .

Si $|U_2| > |U_1|$ entonces $C$ estará dentro del círculo, como se muestra en la figura anterior, y habrá exactamente una solución. Si $|U_2| < |U_1|$ entonces $C$ estará fuera del círculo y habrá dos soluciones o ninguna.

Si necesita el objeto que comienza en $C$ para interceptar el objeto que comienza en $A$ antes de que ese objeto termine de viajar desde $A$ a $B$ , entonces se puede puede calcular el tiempo que tarda el objeto en alcanzar $B$ en el sistema de coordenadas sistema de coordenadas (utilizando la distancia desde $A$ a $B$ y la magnitud de $U_1$ ) y el tiempo que tarda el objeto en $C$ para alcanzar $A$ en el sistema de coordenadas transformado sistema de coordenadas transformado (utilizando la distancia de $C$ a $A$ y la magnitud del el vector $U_2 - U_1$ ) para determinar qué evento ocurre primero.