Cálculo de la función generadora de momentos conjuntos

Question

Buenos días, Stack Exchange. Mi problema es que tengo una distribución conjunta de variables aleatorias discretas con el siguiente PMF y soporte:

$f(x,y) = \frac{2^{x-y} e^{-3}}{x!(y-x)!}$ cuando $x = 0, 1, 2, ... y$ y $y = 0, 1, 2, ... \infty$ y $f(x,y) = 0$ De lo contrario,

Entonces, mi problema aquí es que sé que para obtener el MGF, $M(t_1, t_2)$ debemos evaluar la suma:

$$\sum_{y=0}^{\infty} \sum_{x=0}^{y} \frac{e^{x_1t_1 + yt_2} * e^{-3} * 2^{y-x}}{x!{y-x!}}$$

Mi estrategia para evaluar la suma interna fue mover todos los términos que contienen un $y$ a la suma más externa y desplazar la constante $e^{-3}$ fuera de la suma por completo, por lo que resuelve la suma interna como $$\sum_{x=0}^{y} \frac{e^{xt_1} * 2^{-x}}{x!{y-x!}}$$

La pista del libro de texto me dice que esta suma es fácil de evaluar si el término $2^{-x}$ no estaban allí, pero no estoy seguro de cómo tratar la suma una vez que este término está presente. ¿Estoy en el camino correcto aquí, y cómo puedo resolver esta suma interior y la ayuda de la simplificación de la suma en general sería muy apreciada. Gracias por leer.

Answer 1

Tienes PMF: $$f(x,y) = \begin{cases} \frac{2^{x-y} e^{-\frac{3}{2}}}{x!(y-x)!},& x = 0, 1, 2, \ldots y\text{ and } y = 0, 1, 2,\ldots\\ 0& \text{otherwise} \end{cases}$$

Y el MGF lo es: \begin {alinear} M_{X,Y}(t_1,t_2) &= E(e^{t_1x+t_2y}) \\ &= \sum\limits_ {y=0}^ \infty\sum\limits_ {x=0}^y e^{t_1x+t_2y} \frac {2^{x-y} e^{- \frac {3}{2}}{x!(y-x)!} \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty 2^{-y}e^{t_2y} \sum\limits_ {x=0}^y e^{t_1x} \frac {2^{x} }{x!(y-x)!} \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty 2^{-y}e^{t_2y} \sum\limits_ {x=0}^y \frac { \left (2e^{t_1} \right )^{x} }{x!(y-x)!} \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty \dfrac {1}{y!}2^{-y}e^{t_2y} \sum\limits_ {x=0}^y \frac ¡{y! \left (2e^{t_1} \right )^{x} }{x!(y-x)!} \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty \dfrac {1}{y!}2^{-y}e^{t_2y} \sum\limits_ {x=0}^y \begin {pmatriz}y \\x\end {pmatrix} \left (2e^{t_1} \right )^{x} \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty \dfrac {1}{y!}2^{-y}e^{t_2y} \sum\limits_ {x=0}^y \begin {pmatriz}y \\x\end {pmatrix} \left (2e^{t_1} \right )^{x} 1^{y-x} \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty \dfrac {1}{y!}2^{-y}e^{t_2y}(2e^{t_1}+1)^y \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty \dfrac {1}{y!} \left (2^{-1}e^{t_2}(2e^{t_1}+1) \right )^y \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty \dfrac {1}{y!} \left (e^{t_1+t_2}+ \dfrac {1}{2}e^{t_2} \right )^y \\ &= e^{- \frac {3}{2}} e^{e^{t_1+t_2}+ \frac {1}{2}e^{t_2}} \\ &= e^{e^{t_1+t_2}+ \frac {1}{2}e^{t_2}- \frac {3}{2}}. \end {align}

Nota

Utilizo el hecho:

(1) Teorema del binomio $$\sum\limits_{x=0}^n \begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}a^x b^{n-x} = (a+b)^n$$

(2) La serie de Taylor sobre $x=0$ de $e^x$ , $$\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}=e^x.$$