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Cálculo de la función generadora de momentos conjuntos

Buenos días, Stack Exchange. Mi problema es que tengo una distribución conjunta de variables aleatorias discretas con el siguiente PMF y soporte:

f(x,y)=2xye3x!(yx)!f(x,y)=2xye3x!(yx)! cuando x=0,1,2,...yx=0,1,2,...y y y=0,1,2,...y=0,1,2,... y f(x,y)=0f(x,y)=0 De lo contrario,

Entonces, mi problema aquí es que sé que para obtener el MGF, M(t1,t2)M(t1,t2) debemos evaluar la suma:

y=0yx=0ex1t1+yt2e32yxx!yx!y=0yx=0ex1t1+yt2e32yxx!yx!

Mi estrategia para evaluar la suma interna fue mover todos los términos que contienen un yy a la suma más externa y desplazar la constante e3e3 fuera de la suma por completo, por lo que resuelve la suma interna como yx=0ext12xx!yx!yx=0ext12xx!yx!

La pista del libro de texto me dice que esta suma es fácil de evaluar si el término 2x2x no estaban allí, pero no estoy seguro de cómo tratar la suma una vez que este término está presente. ¿Estoy en el camino correcto aquí, y cómo puedo resolver esta suma interior y la ayuda de la simplificación de la suma en general sería muy apreciada. Gracias por leer.

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Ongky Denny Wijaya Puntos 129

Tienes PMF: f(x,y)={2xye32x!(yx)!,x=0,1,2,y and y=0,1,2,0otherwise

Y el MGF lo es: \begin {alinear} M_{X,Y}(t_1,t_2) &= E(e^{t_1x+t_2y}) \\ &= \sum\limits_ {y=0}^ \infty\sum\limits_ {x=0}^y e^{t_1x+t_2y} \frac {2^{x-y} e^{- \frac {3}{2}}{x!(y-x)!} \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty 2^{-y}e^{t_2y} \sum\limits_ {x=0}^y e^{t_1x} \frac {2^{x} }{x!(y-x)!} \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty 2^{-y}e^{t_2y} \sum\limits_ {x=0}^y \frac { \left (2e^{t_1} \right )^{x} }{x!(y-x)!} \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty \dfrac {1}{y!}2^{-y}e^{t_2y} \sum\limits_ {x=0}^y \frac ¡{y! \left (2e^{t_1} \right )^{x} }{x!(y-x)!} \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty \dfrac {1}{y!}2^{-y}e^{t_2y} \sum\limits_ {x=0}^y \begin {pmatriz}y \\x\end {pmatrix} \left (2e^{t_1} \right )^{x} \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty \dfrac {1}{y!}2^{-y}e^{t_2y} \sum\limits_ {x=0}^y \begin {pmatriz}y \\x\end {pmatrix} \left (2e^{t_1} \right )^{x} 1^{y-x} \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty \dfrac {1}{y!}2^{-y}e^{t_2y}(2e^{t_1}+1)^y \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty \dfrac {1}{y!} \left (2^{-1}e^{t_2}(2e^{t_1}+1) \right )^y \\ &= e^{- \frac {3}{2}} \sum\limits_ {y=0}^ \infty \dfrac {1}{y!} \left (e^{t_1+t_2}+ \dfrac {1}{2}e^{t_2} \right )^y \\ &= e^{- \frac {3}{2}} e^{e^{t_1+t_2}+ \frac {1}{2}e^{t_2}} \\ &= e^{e^{t_1+t_2}+ \frac {1}{2}e^{t_2}- \frac {3}{2}}. \end {align}

Nota

Utilizo el hecho:

(1) Teorema del binomio nx=0(nx)axbnx=(a+b)n

(2) La serie de Taylor sobre x=0 de ex , n=0xnn!=ex.

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