Si $A$ es un subobjeto de $B$, e $B$ un subobjeto de $A$, son isomorfos?

Question

En la categoría de teoría, un subobjeto de $X$ se define como un objeto $Y$ con un monomorphism, de$Y$$X$. Si $A$ es un subobjeto de $B$, e $B$ un subobjeto de $A$, son isomorfos? No es cierto en general que el tener monomorphisms va en ambos sentidos entre dos objetos es suficiente para isomorphy, por lo que parecería que la respuesta es no.

Lo pregunto porque estoy trabajando a través de los ejercicios en Geroch de la Física Matemática, y uno de ellos te pide demostrar que la relación "es un subobjeto de" es reflexiva, transitiva y antisimétrica. Pero no puede ser antisimétrica si estoy en lo correcto...

Answer 1

No creo que esto puede ser cierto en general. Lo que si tomamos la categoría que consta de dos objetos $A$, $B$ y tomar morfismos $f:A\to B$, $g:B\to A$ con ninguna de las relaciones entre los morfismos, pero obligando a la asociatividad. Entonces, ciertamente, $f$ $g$ son monomorphisms sino $A$ $B$ son no isomorfos (ya que no hay relaciones entre los morfismos).

Answer 2

Aquí es un excelente documento sobre la cuestión para un montón de diferentes categorías. Es cierto que para cualquier conjunto basado en la categoría de "finito" de las cosas.

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El papel (El Cantor–Schröder–Bernstein propiedades en categorías por Don Laackman) define una categoría $\mathcal{C}$ tener la CSB de la propiedad a ser si cada vez que $f : A \to B$ $g : B \to A$ son monomorphisms en $\mathcal{C}$, $A$ $B$ son isomorfos. Las categorías de conjuntos y bien ordenada de los juegos de esta propiedad, mientras que las categorías de espacios topológicos, grupos, posets, o abelian grupos no. El primer teorema de este trabajo es:

Teorema. Si una categoría $\mathcal C$ tiene un fiel functor $F : \mathcal{C} \to \mathsf{FinSet}$ a la categoría de conjuntos finitos, entonces $\mathcal C$ tiene la CSB de la propiedad.

Answer 3

La libre grupo de dos letras que contiene, como los subgrupos de los grupos que son isomorfos gratis de grupo en cualquier número finito de letras. El grupo libre en $n \geq 2$ letras contiene el libre grupo de dos letras como un subgrupo. Así que si tenemos en cuenta la categoría de grupos, con $A = F_2$ y $B = F_n$ ($n > 2$) tenemos un contraejemplo.

Answer 4

Sospecho que usted no leyó cuidadosamente que el ejercicio. Un subobjetos no es un objeto con alguna propiedad especial. Un subobjeto es un objeto y un monomorphism, como $(A_0,m_0)$. Así, si se define $A_0\le A_1$ fib $\exists f:A_0\to A_1. mono(f)$, esto no contratar $m_0, m_1$, y esto es intuitivamente mal. Y no hay una solución estándar: definir $(A_0,m_0)\le (A_1,m_1)$ fib $m_0$ factores a través de $m_1$ ($\exists f:A_0\to A_1. m_0 = m_1\circ f$). $(A_0,m_0)\le (A_1,m_1) \land (A_1,m_1)\le (A_0,m_0)$ y factoring le da morfismos para la construcción de un isomorfismo entre el $A_0,A_1$.

Para el contexto donde subobjetos se utilizan, consulte "Robert Goldblatt. Topoi. El Análisis Categorial de la Lógica." o cualquier otro libro de texto sobre categórica la lógica o la Wikipedia.

Answer 5

En la parte Superior (topológico speces) tomar los subespacios de la recta real: $B=[0,1]$ $A=[0,1]\cup \{4/3\}$ considerando la inclusión $B \subset A$ e involucración mapa de $f: A\to B: x \mapsto x/2$. Pero $A$ no es isomorfo (es decir, homeomórficos) a $B$