Teorema de Von Dyck (teoría de grupos)

Question

¿Alguien ha encontrado una prueba de este teorema? No lo encuentro en Internet. El teorema es :

Dejemos que $X$ sea un conjunto y que $R$ sea un conjunto de palabras reducidas en $X$ . Supongamos que un grupo $G$ tiene la presentación $\langle X \mid R \rangle$ . Si $H$ es cualquier grupo generado por $X$ y satisface las relaciones de $G$ es decir, $w=1$ en $H$ para todos $w \in R$ entonces existe un homomorfismo de grupo sobreyectivo desde $G$ a $H$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

El resultado es esencialmente una consecuencia de la propiedad universal de los grupos libres:

Dejemos que $G= \langle X \mid R \rangle$ y que $H$ sea cualquier grupo generado por $X$ Satisfaciendo a $w=1$ para cualquier $w \in R$ . Dejemos que $F$ denotan el grupo libre sobre $X$ . Es evidente que existe un epimorfismo $\varphi : F \twoheadrightarrow H$ tal que $\varphi(X)=X$ . Ahora, dejemos que $g \in \langle \langle R \rangle \rangle \leq F$ . Entonces $g$ puede escribirse como un producto

$$g = w_1^{r_1} \cdots w_n^{r_n}$$

donde $w_i \in R$ y $r_i \in F$ . Ahora, $\varphi(g) = \varphi(w_1)^{r_1} \cdots \varphi(w_n)^{r_n} = w_1^{r_1} \cdots w_n^{r_n} = 1$ en $H$ . Por lo tanto,

$$\overline{\varphi} : \left\{ \begin{array}{ccc} G= F/ \langle \langle R \rangle \rangle & \to & H \\ \overline{g} & \mapsto & g \end{array} \right.$$

es un epimorfismo bien definido.

Para una referencia, el resultado probablemente se puede encontrar en el libro de Johson _Presentaciones de grupos_ .