Si una función es integrable, ¿tiene también integral finita dada cualquier medida de conteo?

Question

Si la integral de una función $f$ es $L^1$ ,

\begin {Ecuación} \int f dx < \infty \end {Ecuación}

¿Tiene la misma función una integral finita bajo cualquier medida de recuento contable?

\begin {Ecuación} \sum f(x_{i}) d \mu (x_{i}) < \infty \end {Ecuación}

para cualquier secuencia $\{ x_{i} \}_{i \in \mathbb{N}}$ ?

Quiero decir que sí, debido a que estas últimas son lo mismo que las funciones simples sobre conjuntos de puntos. Pero también podríamos perder la cancelación de áreas al tirar muchas cosas de esta manera.

Answer 1

Así que, en primer lugar, por favor, asegúrate de que la notación es correcta, de lo contrario es difícil estar seguro de lo que estás preguntando. I piense en quieres decir que $f\in L_1$ no $L_2$ . También sería bueno tener el dominio de $f$ que asumo por el contexto es $(0,\infty)$ . Además, si se quiere hablar de una integral sobre la medida de recuento en $\mathbb{N}$ la notación adecuada es $$\sum_{i=1}^\infty f(x_i).$$ Por supuesto, la respuesta es no. Considere la función $f=\boldsymbol{1}_\mathbb{N}$ .

Hay condiciones especiales en las que la respuesta es afirmativa. Según la prueba integral, si $f$ es no negativo, continuo y decreciente en $(0,\infty)$ y $\int f<\infty$ entonces $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ converge. De hecho, también lo hace $\sum_{i=1}^\infty f(x_i)$ , siempre y cuando $(x_i)_{i=1}^\infty$ aumenta con $\inf|x_{i+1}-x_i|>0$ .

Answer 2

Si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ se define como $f=\mathbf1_{\mathbb Z}$ entonces $\int f(x)^2dx=0$ pero $\sum_{n\in\mathbb Z}f(n)=\infty$ .

Answer 3

Su pregunta es confusa, pero creo que la respuesta es esencialmente "no".

Puedes cambiar el valor de una función integrable en cualquier conjunto contable de puntos sin cambiar la integrabilidad o la integral. Así que sólo hay que definir que es lo suficientemente grande en cada punto en el que se apoya su "medida de conteo" para que la suma sea divergente.