Encontrar líneas de simetría algebraicamente

Question

¿Cómo determinarías las líneas de simetría de la curva $y=f(x)$ ¿sin dibujar la propia curva?

Estaba trabajando en el problema de encontrar las líneas de simetría de la curva dada por:

$ x^{4}$ + $ y^{4}$ = $u$ donde u es un número real positivo.

pero tuve que recurrir a hacer un boceto rápido.

¿Existe una condición explícita para que una línea sea considerada línea de simetría de una curva?

Gracias.

Answer 1

Si es capaz de determinar el centro de gravedad de la región delimitada por la curva, cualquier línea de simetría tiene que pasar por eso. Si ese centro es $(s,t)$ entonces sólo debe considerar las líneas de la forma $$ a(x-s)+b(y-t)=0 $$

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Para su ejemplo, claramente $x^4+y^4=u$ para la constante $u$ tiene centro de masa $(0,0)$ por lo que sólo debe tener en cuenta las líneas de la forma $$ ax+by=0 $$

Answer 2

La línea $x=0$ es una línea de simetría, porque si un punto $P=(x_1,y_1)$ cumple la ecuación, entonces $(-x_1,y_1)$ ( $P$ reflexionó sobre la $y$ -eje) también lo hace.

Del mismo modo, si $Q=(x_2,y_2)$ cumple la ecuación, entonces también lo hace $(y_2,x_2)$ que es $Q$ reflexionado sobre la línea $x=y$ . Por lo tanto, esa línea es también una línea de simetría para la curva.

Hay más líneas de simetría, pero así es como se buscan. Creo que deberías ser capaz de encontrar las otras dos por ti mismo.

Answer 3

Una línea L dada por $ax+by+c=0$ es una línea de simetría para su curva, si y sólo si para cualquier punto $P_1(x_1,y_1)$ de la curva, su punto simétrico $P_2(x_2,y_2)$ (con respecto a la línea L) también está en la curva.

Ahora:
(1) expreso $x_2$ y $y_2$ como funciones de $x_1, y_1$ (esto puede hacerse a partir de la ecuación de L);
(2) sustituir el $x_2$ y $y_2$ en la ecuación de la curva (porque también deberían satisfacerla); así obtendrás la "condición iff" que estás buscando.

En el caso general, es decir, para cualquier curva arbitraria, no será una ecuación bonita, creo.