Matriz dada $A$ , vector $y$ , calcula la proj. ortogonal de $y$ en $Null(A)$

Question

Matriz dada $A$ , vector $y$ , calcular la proj. ortogonal de $y$ en $Null(A)$

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 & -9\\ \end{pmatrix} $ , $y = [7,-4,-1,2]^T$

Pues bien, he aquí cómo he pensado enfocar esto:

1. Encontrar vectores que abarquen $Null(A)$ Supongamos que encontramos $2$ : ( $b_1,b_2$ )

2. Hagamos una nueva matriz $B = Sp\{b_1,b_2\}$ .

3. Por lo tanto, tenemos que encontrar la proj. ort. de $y$ en $Col(B)$ .

4. Utilicemos el sistema normal $B^TBx = B^Ty$ y a partir de ahí encontramos $x$ .

5. Después de encontrar $x$ podemos encontrar la proyección ortogonal de $y$ en $Col(B)$ porque $P_{Col(A)}y = Bx$ .

¿Qué le parece este enfoque?

Answer 1

Su planteamiento es correcto. En particular, encuentra que la proyección ortogonal es $$ B(B^TB)^{-1}B^Ty $$