Matriz cuadrada con entradas complejas cuyo espacio de vectores propios tiene dimensión $1$

Question

Dejemos que $A\in M(n,\mathbb C)$ sea una matriz tal que el espacio de los vectores propios tenga dimensión $1$ . Por lo tanto, $A$ tiene exactamente un valor propio (porque los valores propios distintos dan lugar a vectores propios linealmente independientes), llámese $\lambda$ .

Cómo demostrar que el polinomio mínimo de $A$ es $(X-\lambda)^n$ ?

Puedo ver claramente que el polinomio característico es $(X-\lambda)^n$ por lo que el polinomio mínimo es $(X-\lambda)^m$ para algunos $m\le n$ pero no puedo mostrar exactamente $m=n$ . Realmente estoy buscando una solución sin utilizar los bloques Jordan.

Por favor, ayuda.

Answer 1

Dejemos que $\lambda$ sea el único valor propio de $A$ y que $B=A-\lambda I$ .

Sabemos que $B^n=0$ .

Dejemos que $m$ sea el menor número entero positivo tal que $B^m=0$ .

Nuestro objetivo es mostrar $m=n$ .

Por hipótesis, tenemos $\text{ker}(B)=\langle{v}\rangle$ para algunos $v\ne 0$ .

Para cada número entero positivo $k$ , dejemos que $d_k=\dim(\text{ker}(B^k))$ .

Reclamación: $\;d_{k+1}\le d_k+1$ para todos $k$ .

Prueba:

Supongamos que $x,y\in \text{ker}(B^{k+1}){\,\setminus\,}\text{ker}(B^k)$ .

Entonces $B^kx,B^ky\in\text{ker}(B)$ y $B^kx,B^ky\ne 0$ (ya que $x,y\not\in\text{ker}(B^k)$ ), por lo que $B^kx=sv$ y $B^ky=tv$ para algunos escalares no nulos $s,t$ .

Entonces $B^k(tx-sy)=tB^kx-sB^ky=t(sv)-s(tv)=0$ Por lo tanto $tx-sy\in\text{ker}(B^k)$ .

De ello se desprende que $x,y$ son linealmente dependientes mod $\text{ker}(B^k)$ Por lo tanto $d_{k+1}\le d_k+1$ como se ha reclamado.

Observando que $d_1=1$ y aplicando la afirmación, se deduce que $d_m\le m$ .

Pero desde $B^m=0$ obtenemos $d_m=n$ Por lo tanto $m=n$ como se iba a demostrar.