Demostrando que si $N<10^{30}$ entonces $\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}<101.$

Question

Entonces, se me pide que pruebe si $N<10^{30}$ entonces $$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}<101.$$ Me dan la información de que $2^{10}=1024$ y en la parte anterior de la pregunta demostré que $$0\leqslant \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}-\ln N\leqslant 1.$$

Así que razoné de la siguiente manera, $$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}<1+\ln N$$ y por eso queremos $1+\ln N < 101$ lo que significa $$\ln N < 100\Rightarrow N<e^{100}=(2+1/2 + 1/6 + \cdots )^{100}\approx 2^{100}=(2^{10})^{10}=(1024)^{10}\approx (10^3)^{10}=10^{30}.$$

Así, $N<10^{30}$ .

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Mi principal preocupación es sobre el signo de aproximación, que en realidad debería ser un signo estrictamente mayor, lo que entonces significaría que aunque $\ln N<100$ esto no significa necesariamente que $N<10^{30}$ que es lo que tengo que mostrar.

Entonces, ¿esta prueba sería aceptable, o hay alguna otra forma de enfocar el problema? Estoy buscando sobre todo pistas.

Gracias.

Answer 1

Tienes todos los cálculos correctos en el orden equivocado. Ya que $N < 10^{30}$ También sabemos que $N < 10^{30} = 1000^{10} < 1024^{10} = 2^{100} < e^{100}$ Por lo tanto $\ln N < 100$ .

Answer 2

Tienes razón al preocuparte: el signo mayor que está en la dirección equivocada para lo que quieres demostrar. Tus implicaciones también van en la dirección equivocada. Tienes razón en que quieres $\ln N \lt 100$ pero deberías encontrar algo que implique esto, no algo que implique. ¿Tienes un límite superior para $\ln 2$ o $\ln 10?$ Si sabes $\ln 10 \lt 2.31$ estás en casa.

Answer 3

Dejemos que $H_n$ denota el $n$ -en número armónico es decir $H_n-\sum\limits_{k=1}^n \frac 1k$ .

Usted tiene
$H_1=1$
$H_3=1+\left(\frac12+\frac13\right)< 1 +2\cdot\frac12 = 2$
$H_7=1+\left(\frac12+\frac13\right)+\left(\frac14+\frac15+\frac16+\frac17\right)< 1+2\cdot\frac12+4\cdot\frac14 = 3$

Esto nos lleva a suponer que $$H_{2^n-1} < n$$ para $n>2$ lo cual puede demostrarse efectivamente por inducción.

Paso inductivo: Si esto es cierto para $n$ entonces tenemos $$H_{2^{n+1}-1}=H_{2^n-1}+\sum_{2^n-1<k\le 2^{n+1}-1} \frac1k \le H_{2^n-1}+\sum_{2^n-1<k\le 2^{n+1}-1} \frac1{2^n} = H_{2^n-1} + \frac{2^{n+1}-2^n}{2^n} = H_{2^n-1} + 1 < n+1.$$

Ahora bien, como ya se ha observado en otra respuesta $10^{30}=1000^{10}<1024^{10}=2^{100}$ por lo que para $N<10^{30}$ tienes $$H_N<H_{2^{100}-1}<100.$$