Entonces, se me pide que pruebe si N<10^{30} entonces \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}<101. Me dan la información de que 2^{10}=1024 y en la parte anterior de la pregunta demostré que 0\leqslant \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}-\ln N\leqslant 1.
Así que razoné de la siguiente manera, \sum_{n=1}^N\frac{1}{n}<1+\ln N y por eso queremos 1+\ln N < 101 lo que significa \ln N < 100\Rightarrow N<e^{100}=(2+1/2 + 1/6 + \cdots )^{100}\approx 2^{100}=(2^{10})^{10}=(1024)^{10}\approx (10^3)^{10}=10^{30}.
Así, N<10^{30} .
Mi principal preocupación es sobre el signo de aproximación, que en realidad debería ser un signo estrictamente mayor, lo que entonces significaría que aunque \ln N<100 esto no significa necesariamente que N<10^{30} que es lo que tengo que mostrar.
Entonces, ¿esta prueba sería aceptable, o hay alguna otra forma de enfocar el problema? Estoy buscando sobre todo pistas.
Gracias.