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Demostrando que si N<10^{30} entonces \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}<101.

Entonces, se me pide que pruebe si N<10^{30} entonces \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}<101. Me dan la información de que 2^{10}=1024 y en la parte anterior de la pregunta demostré que 0\leqslant \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}-\ln N\leqslant 1.

Así que razoné de la siguiente manera, \sum_{n=1}^N\frac{1}{n}<1+\ln N y por eso queremos 1+\ln N < 101 lo que significa \ln N < 100\Rightarrow N<e^{100}=(2+1/2 + 1/6 + \cdots )^{100}\approx 2^{100}=(2^{10})^{10}=(1024)^{10}\approx (10^3)^{10}=10^{30}.

Así, N<10^{30} .


Mi principal preocupación es sobre el signo de aproximación, que en realidad debería ser un signo estrictamente mayor, lo que entonces significaría que aunque \ln N<100 esto no significa necesariamente que N<10^{30} que es lo que tengo que mostrar.

Entonces, ¿esta prueba sería aceptable, o hay alguna otra forma de enfocar el problema? Estoy buscando sobre todo pistas.

Gracias.

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Erick Wong Puntos 12209

Tienes todos los cálculos correctos en el orden equivocado. Ya que N < 10^{30} También sabemos que N < 10^{30} = 1000^{10} < 1024^{10} = 2^{100} < e^{100} Por lo tanto \ln N < 100 .

4voto

Shabaz Puntos 403

Tienes razón al preocuparte: el signo mayor que está en la dirección equivocada para lo que quieres demostrar. Tus implicaciones también van en la dirección equivocada. Tienes razón en que quieres \ln N \lt 100 pero deberías encontrar algo que implique esto, no algo que implique. ¿Tienes un límite superior para \ln 2 o \ln 10? Si sabes \ln 10 \lt 2.31 estás en casa.

1voto

freespace Puntos 9024

Dejemos que H_n denota el n -en número armónico es decir H_n-\sum\limits_{k=1}^n \frac 1k .

Usted tiene
H_1=1
H_3=1+\left(\frac12+\frac13\right)< 1 +2\cdot\frac12 = 2
H_7=1+\left(\frac12+\frac13\right)+\left(\frac14+\frac15+\frac16+\frac17\right)< 1+2\cdot\frac12+4\cdot\frac14 = 3

Esto nos lleva a suponer que H_{2^n-1} < n para n>2 lo cual puede demostrarse efectivamente por inducción.

Paso inductivo: Si esto es cierto para n entonces tenemos H_{2^{n+1}-1}=H_{2^n-1}+\sum_{2^n-1<k\le 2^{n+1}-1} \frac1k \le H_{2^n-1}+\sum_{2^n-1<k\le 2^{n+1}-1} \frac1{2^n} = H_{2^n-1} + \frac{2^{n+1}-2^n}{2^n} = H_{2^n-1} + 1 < n+1.

Ahora bien, como ya se ha observado en otra respuesta 10^{30}=1000^{10}<1024^{10}=2^{100} por lo que para N<10^{30} tienes H_N<H_{2^{100}-1}<100.

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