En alguna demostración utilicé el hecho de que para un vector $a\in\mathbb R^n$ la matriz $a a^T$ es simétrico y, por lo tanto, se puede diagonalizar en $a a^T = Q^T D Q$ con $Q$ ortogonal y $D$ diagonal. Necesitaba esto para demostrar que, dado $x\in \mathbb R^n$ existe una matriz ortogonal $Q$ y la matriz diagonal $D$ s.t. $x^T a a^T x = (Qx)^T D Qx$ .
Ahora necesito decir algo sobre la inversa de esto, así que mi pregunta es: dada la matriz diagonal $D$ ¿en qué condiciones existe un vector $a$ y la matriz ortogonal $Q$ s.t. $(Qx)^T D Qx$ puede escribirse como $x^T a a^T x$ con $a_1,\ldots ,a_n \neq 0$ ?
Creo que la condición es que $D$ tiene elementos positivos, pero no sé cómo demostrarlo.
