Una variación del problema de Monty Hall

Question

Aquí, una vez que Monty tiene la opción de abrir cualquiera de las dos puertas que contienen una cabra cada una (es decir, cuando nuestra elección inicial es un coche), entonces elige la que está más a la derecha. Tenemos que demostrar que aquí también la probabilidad "global" de ganar cambiando es $\frac{2}{3}$ utilizando la regla de la probabilidad total. Soy capaz de calcular las probabilidades de cada una de las configuraciones (es seguro ganar o 50% ganar después de cambiar). Quiero calcular la probabilidad "total" con ellas.

Answer 1

Al igual que en el problema ordinario de Monty Hall, la forma más sencilla de calcular la probabilidad de ganar con varias estrategias es simplemente enumerar todas las posibles ocurrencias y sus probabilidades.

En primer lugar, resumamos lo que sabemos. Como en la habitual El problema de Monty Hall En este caso, suponemos que hay tres puertas (que llamaremos arbitrariamente A, B y C de izquierda a derecha), detrás de una de las cuales hay un coche (que el concursante quiere) y detrás de las otras dos hay una cabra (que el concursante no quiere). Suponemos que el coche es, a priori En esta variante también supondremos que, si Monty tiene dos posibles puertas para elegir, siempre abrirá la que esté más a la derecha, y que, si el concursante tiene dos posibles puertas para elegir, siempre abrirá la que esté más a la derecha, y que, si el concursante tiene dos posibles puertas para elegir, siempre abrirá la que esté más a la derecha, y que, si el concursante tiene dos posibles puertas para elegir, siempre abrirá la que esté más a la derecha. En esta variación, también supondremos que, si Monty tiene dos puertas posibles para elegir, siempre abrirá la que esté más a la derecha.

Entonces las posibilidades son:

• El coche está detrás de la puerta A (probabilidad 1/3):
  • El concursante elige la puerta A ⇒ Monty abre la puerta C (permanecer ⇒ ganar, cambiar ⇒ perder).
  • El concursante elige la puerta B ⇒ Monty abre la puerta C (quedarse ⇒ perder, cambiar ⇒ ganar).
  • El concursante elige la puerta C ⇒ Monty abre la puerta B (quedarse ⇒ perder, cambiar ⇒ ganar).
• El coche está detrás de la puerta B (probabilidad 1/3):
  • El concursante elige la puerta A ⇒ Monty abre la puerta C (quedarse ⇒ perder, cambiar ⇒ ganar).
  • El concursante elige la puerta B ⇒ Monty abre la puerta C (permanecer ⇒ ganar, cambiar ⇒ perder).
  • El concursante elige la puerta C ⇒ Monty abre la puerta A (quedarse ⇒ perder, cambiar ⇒ ganar).
• El coche está detrás de la puerta C (probabilidad 1/3):
  • El concursante elige la puerta A ⇒ Monty abre la puerta B (quedarse ⇒ perder, cambiar ⇒ ganar).
  • El concursante elige la puerta B ⇒ Monty abre la puerta A (quedarse ⇒ perder, cambiar ⇒ ganar).
  • El concursante elige la puerta C ⇒ Monty abre la puerta B (permanecer ⇒ ganar, cambiar ⇒ perder).

Sumando todas las posibles ubicaciones del coche, podemos ver que, como en el problema habitual de Monty Hall, la estrategia "quedarse siempre" gana 1/3 de las veces, mientras que la estrategia "cambiar siempre" gana 2/3 de las veces, independientemente de la puerta que elija inicialmente el concursante.

Sin embargo, también podríamos considerar estrategias en las que la decisión de cambiar depende de la puerta que abra Monty. Por ejemplo, podemos ver fácilmente que, si elegimos la puerta A y Monty abre la puerta B, sabremos con seguridad que el coche debe estar detrás de la puerta C, mientras que si Monty abre la puerta C, el coche tiene la misma probabilidad de estar detrás de la puerta A o de la B. Así, la estrategia "elegir la puerta A, cambiar si se abre la puerta B" también gana con una probabilidad de 2/3, al igual que las estrategias "elegir B, cambiar si se abre A" y "elegir C, cambiar si se abre A".

Desgraciadamente, no podemos hacerlo mejor: independientemente de la puerta que elijamos inicialmente, siempre hay una probabilidad de 2/3 de que la acción de Monty no nos diga cuál de las dos puertas no abiertas tiene el coche detrás, por lo que siempre tendremos una probabilidad de 1/2 - 2/3 = 1/3 de equivocarnos. Por lo tanto, la estrategia de "cambiar siempre", con sus 2/3 de posibilidades de ganar, sigue siendo óptima incluso en esta variante del problema, aunque ya no sea la único estrategia óptima.