¿Cuál de los siguientes es un subespacio vectorial de $R^3$

Question

Para demostrar que $F$ es un subespacio vectorial K de $ E$ basta con demostrar $\alpha f_1+\beta f_2 \in F$ con $(\alpha, \beta)$ $\in K²$ y $f_1 , f_2 \in F$ .

Para los casos triviales y fáciles parece sencillo. Pero no pude aplicar el mismo método para los siguientes espacios:

$E_1 =\{(x,y,z) \in \Bbb R^3 \mid x^2-z^2=0 \}$

$E_2 =\{(x,y,z) \in \Bbb R^3 \mid x+y-z= x+y+z=0\}$

$E_3 =\{(x,y,z) \in \Bbb R^3 \mid z(x^2+y^2)=0 \}$

NB: La pregunta era "determinar si son subespacios vectoriales de $\Bbb R^3$ . Ya he comprobado si el elemento nulo y los inversos existen en estos 3 casos, las pruebas habituales para demostrar que no es un subespacio vectorial, y parece que está bien.

Answer 1

En general, el mantra es "los subespacios están definidos por ecuaciones lineales".

La intuición, entonces, nos dice que $E_1$ y $E_3$ son no subespacios mientras que $E_2$ es.

Por supuesto, la intuición no es lo mismo que una prueba, así que debemos demostrar por qué nuestra intuición es válida.

Por ejemplo, observe que $(1,0,1)\in E_1$ y $(1,0,-1)\in E_1$ pero $$ (1,0,1)+(1,0,-1)=(1,0,0)\notin E_1 $$ Por lo tanto, $E_1$ no es un subespacio.

Además, tenga en cuenta que $(0,0,1)\in E_3$ y $(1,1,0)\in E_3$ pero $$ (0,0,1)+(1,1,0)=(1,1,1)\notin E_3 $$ Por lo tanto, $E_3$ no es un subespacio.

Ahora, la forma más eficiente de demostrar directamente que $E_2$ es un subespacio se puede utilizar el prueba de subespacio vectorial de un paso . ¿Puedes probar esto?

Otra forma rápida de ver que $E_2$ es un subespacio es observar que $E_2$ es el espacio nulo de la matriz $$ A= \left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right] $$ El espacio nulo de cualquier $m\times n$ es un subespacio de $\Bbb R^n$ . Por lo tanto, $E_2$ es un subespacio de $\Bbb R^3$ .