$\int_0^\infty \phi(x)\delta(x^2-1)\, dx$

Question

Necesito evaluar $\int_0^\infty \phi(x)\delta(x^2-1)\, dx$ pero tienen muy poco contexto para saber qué pasos son válidos cuando se trabaja con $\delta$ . A $u$ -sustitución parece apropiada, así que en lugar de encontrar

$$\int_0^\infty \phi(x)\delta(u)\frac{du}{2x}$$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo tratar el $\phi(x)/x$ . ¿Debo inferir a continuación $x = \pm\sqrt{u+1}$ y luego inferir que esta integral es

$$\frac{\phi(-1)}{-2} + \frac{\phi(1)}{2}$$

Pero eso parece depender de $\phi$ que se define para los valores negativos, lo que parece que no debería ser necesario.

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Para el contexto puede ayudar saber que sólo tengo por definición que

$$\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\delta(x-x_0)\ dx = \phi(x_0)$$

Answer 1

Considere la integral $\int_0^\infty \phi(x) \delta(x^2-1)dx$ . Proceda con un $u$ ajuste de sustitución $u = x^2 -1$ , lo que da como resultado $du = 2xdx$ .

Seleccionamos $x = \sqrt{u+1}$ . Sólo necesitamos la raíz cuadrada positiva, ya que $x \in [0,\infty)$ según los límites de integración. Esto da como resultado $dx = \frac{du}{2\sqrt{u+1}}$

Haciendo las sustituciones: $$\int_0^\infty \phi(x) \delta(x^2-1)dx = \int_{-1}^\infty \frac{\phi(\sqrt{u+1})}{2\sqrt{u+1}} \delta(u) du = \frac{\phi(1)}{2}$$

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Debo mencionar que $\int_{a}^b \phi(x) \delta(x-x_0) dx = \phi(x_0)$ para cualquier intervalo $[a,b]$ que contiene $x_0$ . La integral es cero cuando $x_0 \not \in [a,b]$ . No requerimos el conocimiento de $\phi$ sobre todo $(-\infty, \infty)$ ya que la función delta es nula en todas partes menos en el origen (en el sentido de las EDO de grado, es decir, la función delta no es técnicamente una "función").