Igualdad de normas en el espacio dual

Question

Supongamos que $X$ es un espacio complejo normado y $h:X\to \mathbb{R}$ es un funcional lineal acotado (real). Demostrar que $f:X\to \mathbb{C}$ definido por $f(x)=h(x)-ih(ix)$ pertenece al espacio dual de $X$ y $\left \| f \right \|=\left \| h \right \|$ .

He demostrado que $f$ pertenece al espacio dual de $X$ , sin embargo no pude mostrar la igualdad $\left \| f \right \|=\left \| h \right \|$ .

Agradecería una pista sobre cómo mostrar esto. Gracias.

Answer 1

Demostrando que $\|f\|\leq\|h\|$ es la única parte en la que pareces estar atascado.

Para $x\in X$ , escriba $f(x)=re^{i\theta}$ . Entonces $|f(x)|=f(e^{-i\theta}x)=r=h(e^{-i\theta}x)=|h(e^{-i\theta}x)|\leq\|h\|\|e^{-i\theta}x\|=\|h\|\|x\|$ .

(Probablemente leí este truco en el libro de Douglas Técnicas de álgebra de Banach en la teoría de operadores .)