¿Cuántos grupos únicos (no isomorfos entre sí) podemos formar a partir de un conjunto de tamaño n?

Question

Teniendo en cuenta el Teorema del Reordenamiento. La primera parte de la respuesta es de cuántas maneras podemos escribir una tabla de multiplicar de tamaño nxn que tenga todas sus filas y columnas sin ningún elemento repetido.

La segunda parte de la respuesta es, del número calculado en la primera parte, ¿cuántos grupos isomorfos podemos eliminar?

por ejemplo podemos demostrar que todas las permutaciones de columnas darán lugar a grupos isomorfos mapeando las primeras filas de cualquiera de ellas con la permutación realizada.

¿cuál es la fórmula general de n en la primera parte? ¿Y hay una fórmula para la segunda parte, o todo se hace por fuerza bruta? si es así ¿hasta dónde se sabe?

Answer 1

Ver Wikipedia para el número de cuadrados latinos (hasta la equivalencia natural, que Wikipedia llama "reducción"). En particular, para un $n\times n$ es mayor o igual que $\frac{(n!)^{2n}}{n^{n^2}}$ .

Por ejemplo, hay 5 grupos de orden $8$ , pero bastantes $8\times8$ cuadrados latinos (535.281.401.856, para ser exactos). Sólo hay un grupo de orden $11$ pero el número de $11\times11$ Las plazas latinas han aumentado: 5,363,937,773,277,371,298,119,673,540,771,840.

En particular, el número de cuadrados latinos aumenta estrictamente a medida que $n$ aumenta, mientras que sabemos que el número de grupos salta mucho. El comentario de Qudit tiene entonces mucho sentido: el número de grupos de orden $p^k$ aumenta estrictamente a medida que $k$ aumenta, así que empiece a pensar en $p$ -grupos (en particular, $2$ -ya que existe la conjetura popular de que "casi todos los grupos finitos son $2$ -grupos").