Convergencia de las series de funciones indicadoras

Question

Diga $E$ es un conjunto medible, y $\{E_k\}$ es una serie de conjuntos medibles definidos por

$$ E_k \subset E, m(E \setminus E_k) < \frac{1}{k}, k = 1, 2, 3, ... $$

¿Sus correspondientes series de funciones indicadoras convergen a 1, casi con seguridad?

$$ \lim_{k \to \infty} 1_{E_k} = 1, a.s. x \in E $$

Si $E_k \subset E_{k+1}$ entonces sería trivial demostrar la afirmación anterior con $A = \bigcap_{k=1}^{\infty} (E \setminus E_k)$ . Sin embargo, sin esta condición, empiezo a sospechar de su corrección, pero tampoco puedo plantear ningún contraejemplo.

Answer 1

Si el $(E_k)$ no están anidados, sus indicadores no tienen por qué converger en casi todas partes. Sea $E$ sea el intervalo unitario, considere el secuencia de la máquina de escribir y que $E_k$ sea el conjunto donde el $k$ es cero.

Es posible que tenga que modificar ligeramente la construcción para conseguir $m(E \setminus E_k)<\frac1k$ pero ya te haces una idea. Tenga en cuenta que la serie armónica diverge, por lo que esta modificación no hará que la máquina de escribir "peter out".

Answer 2

Lo que describes es una especie de ejemplo clásico de que una secuencia de funciones puede converger en $L^P(\mu)$ para $1\leq p < \infty$ pero no en $L^\infty(\mu).$

Dejemos que $f_k(x)=1_{E_k}(x),$ $f(x)=1.$ Entonces $$ \mu(E\backslash E_k)=\int_E f(x)-f_k(x)\, \mathrm{d}\mu < \frac{1}{k}. $$ Obviamente, esto demuestra $f_k \to f$ en $L^1.$ Una prueba similar se aplica en $L^p.$ para $p<\infty.$

Sin embargo, considere si $E=[0,1]$ y $f_{n,k}(x)=1_{E\backslash[\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n}]},$ para $k=1,...,n.$