3 votos

Raíces de ecuación que tienen x en el exponente.

La ecuación a resolver es $ 9^x + 2(1-a) 3^x + a = 0$ . Tenemos que encontrar todos los valores integrales de $a$ entre $1$ y $30$ para la cual la ecuación anterior tiene raíces de signo contrario.

He sustituido $3^x = t$ y obtuve la ecuación $ t^2 + 2(1-a)t + a= 0$ .Applied Discriminant $\ge 0$ . Pero no pude obtener ninguna solución.

8voto

G Tony Jacobs Puntos 5904

Tu sustitución es buena. Ahora puedes aplicar la fórmula cuadrática para resolver $t$ (en términos de $a$ Por supuesto). Como se ha señalado en los comentarios anteriores, usted quiere que sus dos valores para $t$ sean ambos positivos, uno en el intervalo $(0,1)$ y la otra en $(1,\infty)$ .

Estoy recibiendo un discriminante: $4(a^2-3a+1)$ o $4((a-\frac32)^2-\frac54)$ que es negativo para $a=1,2$ por lo que realmente sólo necesitamos considerar los valores de $a$ de $3$ a $30$ .

Las soluciones para $t$ son $a-1 \pm \sqrt{a^2-3a+1}$ . Cuando $a=3$ Una de estas soluciones es $1$ , lo que implica una raíz de $x=0$ que no se desea. Para $a>3$ el radical satisface la desigualdad:

$$a-2 < \sqrt{a^2-3a+1} < a-1.$$

Esto sitúa la diferencia obtenida al elegir el signo menos entre $0$ y $1$ como se desee. Así, todos los valores de $a=4$ a $a=30$ debería funcionar.

6voto

PILAR Puntos 61

Obviamente $a>0$ ya que ambas raíces deben ser positivas. Sea $f(t)=t^2+2(1-a)t+a$

Tenga en cuenta que

$$f(0^+)>0$$ $$f(\infty)>0$$

Así que todo lo que necesitas es que $f(1)<0$ para $f$ tiene una raíz en $(0,1)$ y en una raíz en $(1,\infty)$

Así que el ajuste $f(1)<0$ ,

$$f(1)=1+2(1-a)+a=-a+3<0$$

que implica

$$a \in \{4,5,...,30\}$$

2voto

user346279 Puntos 83

Todo está bien hasta la sustitución. Como las raíces de la ecuación dada son de signo contrario esto implica $0$ debe estar entre las raíces, por lo tanto, $a.f(k) \lt 0$ donde $f(x)=ax^2+bx +c $ y $k$ es el número que se encuentra entre las raíces.

Solución $$f(x)=t^2 +2(1-a)t+a \space \space\text{ where k=0,a=1}$$ $$\implies 1.(1+2(1-a)+a) \lt 0$$ $$\implies 3-a \lt 0 $$ $$\implies a \gt 3 $$

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