Pregunta sobre la distribución binomial (Exactamente/Al menos $x$ Pruebas para el éxito)

Question

Me da un poco de vergüenza hacer esta pregunta, pero por mi vida no puedo entenderlo.

Un hombre paga \$1 a throw to win a \$ 3 muñeca. Su probabilidad de acertar un lanzamiento es de 0,1. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten dos lanzamientos para ganar la muñeca? ¿Cuál es la probabilidad de que $x$ ¿se necesitan lanzamientos?

El libro decía que la probabilidad de que $x$ lo que se necesita es $0.1(0.9)^{x-1}$ . ¿Cómo han conseguido esto?

He intentado utilizar una distribución binomial, pero no sé el número de ensayos

EDITAR:

Tengo otro problema similar, pero estoy teniendo problemas para determinar el porcentaje de éxito

Tres hombres lanzan monedas para ver quién paga el café. Si los tres coinciden, vuelven a tirar. Si no, el "hombre impar" paga el café. ¿Cuál es la probabilidad de que tengan que hacerlo más de una vez? ¿Y como máximo dos veces?

Básicamente pensé que los resultados como HHH es igual a TTT y del mismo modo cualquier combinación de HHT = TTH.

Así que, esencialmente, o nos detenemos después del primer lanzamiento o volvemos a lanzar y eso hace que la probabilidad de éxito sea igual a 1/2 y la de fracaso sea igual a 1/2.

Answer 1

Para ganar la muñeca en exactamente dos lanzamientos significa que el primer lanzamiento fue un fracaso (90% de probabilidad) y el segundo un éxito (10% de probabilidad). Suponiendo que cada lanzamiento es independiente de los demás, basta con multiplicar las probabilidades para obtener $$ 0.9 \cdot 0.1 = 0.09. $$

En general, si exactamente $x$ son necesarios, entonces el primer $x-1$ Los lanzamientos fueron fallidos y el último fue un éxito. Multiplicando todo esto se obtiene $$ 0.9^{x-1}\cdot 0.1. $$

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La probabilidad de necesitar más de tres lanzamientos para ganar puede verse como el complemento de necesitar tres o menos lanzamientos para ganar. Es decir, $$ \Pr(\text{more than three throws}) = 1 - \Pr(\text{three or fewer throws}). $$ Como es habitual en los problemas en los que se utiliza "como máximo" o "como mínimo", es útil dividir el evento en varias instancias de "exactamente": $$ \begin{align*} & \Pr(\text{3 or fewer throws})\\ = & \Pr(\text{exactly 1 throw}) + \Pr(\text{exactly 2 throws}) + \Pr(\text{exactly 3 throws})\\ = & 0.9^0 \cdot 0.1 + 0.9^1 \cdot 0.1 + 0.9^2 \cdot 0.1\\ = & 0.271. \end{align*} $$ Finalmente, $$ \begin{align*} \Pr(\text{more than three throws}) &= 1 - \Pr(\text{three or fewer throws})\\ &= 1 - 0.271\\ &= 0.729. \end{align*} $$