Pares de arrastre y de núcleo

Question

En una categoría regular, considere dos diagramas: $\require{AMScd}$ \begin {CD} A @>a'>> B \\ @V b' V @VV b V \\ C @>>a> D \end {CD} $\require{AMScd}$ \begin {CD} A @>a'>> B \\ @V c' V @VV c V \\ C @>>a> D \end {CD} con $a$ un epimorfismo regular, $(A, b',c')$ el par de núcleos de un morfismo $g\colon C\to E$ , $(B, b,c)$ el par de núcleos de un morfismo $f\colon D\to F$ , $v\colon E\to F$ tal que $vg=fa$ y $a'\colon A\to B$ el morfismo inducido únicamente por la universalidad del par de núcleos de $f$ . Por tanto, los dos cuadrados son conmutativos. Supongamos ahora que los dos son pullbacks. ¿Es cierto que $b=c$ ?

Answer 1

En la categoría de $R$ -módulos, donde $R=\mathbb Z$ para concretar, toma

$\require{AMScd}$ \begin {CD} R^2 @= R^2 \\ @V \pi_1 , \pi_2 V V @VV \pi_1 , \pi_2 V \\ R @= R \\ @VVV @VVV \\ 0 @= 0 \end {CD}

Fo $f$ y $g$ son el mapa cero $R\to 0,$ mientras que $b$ es una proyección $R^2\to R$ y $c$ es la otra proyección.

Answer 2

En cuanto la plaza \begin {CD} C @>a>> D \\ @V g V @VV f V \\ E @>>{v}> F \end {CD} es un pullback, sus dos cuadrados formados con los pares del núcleo serán pullbacks (y si $g$ es un epimorfismo regular la condición también es necesaria), pero $b=c$ si y sólo si $f$ es un monomorfismo. Como obviamente (suponiendo que su categoría no es trivial) se puede encontrar un pullback como el anterior donde $f$ no es un monomorfismo (véase por ejemplo mi respuesta a su pregunta anterior), no es cierto que $b$ debe ser igual a $c$ en su contexto.