computa $ \iiint_Kxyz\ dxdydz$

Question

La pregunta es: $$ \iiint_Kxyz\ dxdydz\quad k:=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\leq1, \ \ x^2+y^2\leq z^2\leq 3(x^2+y^2), \ x,y,z\geq 0\} $$

Aquí cómo he tratado de resolver esto: $$\iint_{x^2+y^2\leq1}\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{3(x^2+y^2)}}xyz \ dz\ dxdy=\frac{1}{2}\iint xy\left(3(x^2+y^2)-(x^2+y^2)\right)=...=0$$ Pero la respuesta que obtuve es cero, lo cual es obviamente incorrecto, ¿qué hay de malo en mi solución? cualquier sugerencia sería genial, gracias

Answer 1

Básicamente estamos tratando de encontrar el volumen de la esfera $x^2+y^2+z^2 \leq 1$ entre dos conos $z^2 = x^2 + y^2$ y $z^2 = 3(x^2+y^2)$ .

Así que los límites son mucho más fáciles de establecer en coordenadas esféricas.

$x = \rho \cos \theta \sin \phi, y = \rho \sin \theta \sin \phi, z = \rho \cos \phi$

$0 \leq \rho \leq 1, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ son evidentes ya que estamos en el primer octante y el radio de la esfera es $1$ .

Ahora para encontrar los límites de $\phi$ observamos que

$x^2 + y^2 \leq z^2 \leq 3(x^2+y^2)$

conectando $x,y,z$ , $ \frac{1}{\sqrt3} \leq \tan \phi \leq 1 \implies \frac{\pi}{6} \leq \phi \leq \frac{\pi}{4}$

$xyz = \rho^3 \cos\theta \sin \theta \sin^2\phi \cos\phi$

Así que la integral se convierte en,

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \int_{\pi/6}^{\pi/4} \int_0^1 \rho^5 \cos\theta \sin \theta \sin^3\phi \cos\phi \ d\rho \ d\phi \ d\theta$

No he hecho la integral a mano pero WolframAlpha muestra el resultado como $\displaystyle \frac{1}{256}$ .