Derivada schwarziana de la función inversa.

Question

Dejemos que $\mathcal{D}$ denotan la derivada de Schwarz. Tengo que demostrar que si $\mathcal{D}f(x)$ existe $\forall x$ entonces $\mathcal{D}f^{-1}$ existe $\forall x\in D_{f^{-1}}$ y luego encontrar una fórmula.

He probado a cambiar la variable $x$ en $f^{-1}(x), f(x), f'(x), (f^{-1})'(x)$ y después de que todos ellos no me llevaran a ninguna parte me di cuenta de que ya no estaba haciendo matemáticas sino fuerza bruta. Tengo la sensación de que voy a utilizar $$(f^{-1})'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$ en alguna parte (lo que hice en algunos de mis cambios de variables). Cualquier sugerencia será apreciada.

Answer 1

Por la existencia de $\mathcal{D}(f^{-1})$ , hay que tener en cuenta que la existencia de $\mathcal{D}f$ implica $f'(x) \neq 0$ Por lo tanto $f$ es un difeomorfismo, $f^{-1}$ es diferenciable tantas veces como $f$ es, por tanto, suficientemente frecuente para la derivada de Schwarz, y $(f^{-1})'(y) \neq 0$ siempre. Así que $\mathcal{D}(f^{-1})$ existe.

Por la regla de la cadena para las derivadas de Schwarz, tenemos

$$0 = \mathcal{D}(\operatorname{id}) = \mathcal{D}(f\circ f^{-1}) = \bigl((\mathcal{D}f)\circ f^{-1}\bigr)\cdot \bigl((f^{-1})'\bigr)^2 + \mathcal{D}(f^{-1}).$$

Ahora es un simple reordenamiento para obtener la fórmula de $\mathcal{D}(f^{-1})$ .