¿Tiene una conexión con $\pi$ $\zeta(3)$?

Question

El problema

Puede ser de $\zeta(3)$ escrito como $\alpha\pi^\beta$ donde$\alpha,\beta \in \mathbb{C}$), $\beta \ne 0$ y $\alpha$ no dependen de $\pi$ (como $\sqrt2$, por ejemplo)?

Detalles

Varios $\zeta$ valores están conectados con $\pi$, como:

$\zeta$(2)=$\pi^2/6$

$\zeta$(4)=$\pi^4/90$

$\zeta$(6)=$\pi^6/945$

...

y así sucesivamente para todos los números pares.

Ver este mathworld enlace para más detalles: Riemann Zeta Función

Así que la pregunta es, podría $\zeta(3)$ ser escrita como:

$$\zeta(3)=\alpha\pi^\beta$$ $$\alpha,\beta \in \mathbb{C}$$ $$\beta \ne 0$$ $$\alpha \text{ no dependiente de } \pi$$

Ver $\alpha$ no essencially pertenece $\mathbb{Q}$ y $\alpha,\beta$ podría ser números reales.

Cuando escribí $\alpha$ no es dependiente de $\pi$ es una extraña y algo difícil de definir, pero tal vez $\alpha$ puede ser escrito usando $e$ o $\gamma$ o $\sqrt2$ o de alguna otra constante.

Editar:

Tal vez esta siendo una pregunta abierta. Si

$ \sum_{k = 0}^{2} (-1)^{k} \frac{B_{2k} \ B_{2 - 2k + 2}}{(2k)! \ (2 - 2k + 2)!}$

en $-4 \sum_{k = 0}^{2} (-1)^{k} \frac{B_{2k} \ B_{2 - 2k + 2}}{(2k)! \ (2 - 2k + 2)!}\pi^3$ ser de la forma $\frac{\delta}{\pi^3}$ $\delta$ no dependiente de $\pi$

y $- 2 \sum_{k \geq 1} \frac{k^{-3}}{e^{2 \pi k} - 1}$ no dependiente de $\pi$ demasiado, esta pregunta todavía duro y abierto.

Answer 1

La pregunta es si o no $\zeta(3)$ es conectado con $\pi$. La respuesta es sí. Por otra parte, $\zeta(3) = \beta \pi^{\alpha}$ para algunos complejos de $\alpha, \beta$. Tomar $\alpha = 3$ y $\beta = 0.0387682...$. No se sabe si $\beta = 0.0387682...$ es algebraica o trascendente. Se sabe, sin embargo, que $\zeta(3)$ es irracional, como se muestra por Apery.

Ramanujan conjetura y Grosswald demostrado que los siguientes sostiene. Si $\alpha, \beta > 0$ tal que $\alpha \beta = \pi^{2}$, entonces para cada entero no negativo de $n$, \begin{align} \alpha^{-n} \left( \frac{\zeta(2n+1)}{2} + \sum_{k \geq 1} \frac{k^{-2n-1}}{e^{2 k \alfa} - 1} \right) y = (- \beta)^{-n} \left( \frac{\zeta(2n+1)}{2} + \sum_{k \geq 1} \frac{k^{-2n-1}}{e^{2 k \beta} - 1} \right) - \end{align} \begin{align} \qquad 2^{2n} \sum_{k = 0}^{n+1} (-1)^{k} \frac{B_{2k} \ B_{2n - 2k + 2}}{(2k)! \ (2n - 2k + 2)!} \alpha^{n - k + 1} \beta^{k}. \end{align} donde $B_n$ es el $n^{\text{th}}$-Bernoulli número.

Para un entero positivo impar $n$, tomamos $\alpha = \beta = \pi$, \begin{align} \zeta(2n+1) = -2^{2n} \left( \sum_{k = 0}^{n+1} (-1)^{k} \frac{B_{2k} \ B_{2n - 2k + 2}}{(2k)! \ (2n - 2k + 2)!} \right) \pi^{2n+1} - 2 \sum_{k \geq 1} \frac{k^{-2n-1}}{e^{2 \pi k} - 1}. \end{align}

En particular, para $n = 1$, \begin{align} \zeta(3) = -4 \left( \sum_{k = 0}^{2} (-1)^{k} \frac{B_{2k} \ B_{2 - 2k + 2}}{(2k)! \ (2 - 2k + 2)!} \right) \pi^{3} - 2 \sum_{k \geq 1} \frac{k^{-3}}{e^{2 \pi k} - 1}. \end{align}

Observar que el coeficiente de $\pi^{3}$ es racional, sin embargo, no se sabe nada acerca de la naturaleza algebraica de la infinita suma. Este es un tema actual de investigación. De hecho, se cree que $\frac{\zeta(3)}{\pi^{3}}$ es trascendental.

Actualización: Recientemente, Takaaki Musha afirma haber demostrado que $\frac{\zeta(2n+1)}{(2 \pi)^{2n+1}}$ es irracional positivo de $n \geq 1$. Sin embargo, algunas objeciones desde entonces ha sido planteado (leído los comentarios de más abajo).

Answer 2

Cualquier número complejo puede ser escrito como \alpha \pi^\beta$ $ si no haces ninguna hipótesis sobre $\alpha$ y \beta$ $. Usted puede incluso tomar $\beta = 0$.

Es sin embargo conjeturó que $\zeta(2n+1)/\pi^ {2n + 1} $ es irracional para todos $n \geq 1$. Esta conjetura es abierta.

Answer 3

Véase esta cuestión en MO. La respuesta corta es que no sabemos si $\zeta(3)/\pi^3$ es racional (supongo que eso es lo que quisiste decir), pero nadie cree seriamente que es. De hecho, no debería ser, en su lugar debe conectarse a un determinado regulador mayor (google para regulador de Borel o conjetura de Lichtenbaum si usted quiere saber más, pero tenga en cuenta que es material muy técnico).

Answer 4

Voy a responder a sus modificado pregunta, como se explica en su comentario:

No estoy en busca de un racional número, tal vez podría ser un irracional...una extraña irracional. Tal vez α utiliza γ (constante).

Es conocido a través de la liga de la leche, prueba de que no hay forma sencilla de $\zeta(3)$ involucran potencias bajas de $\pi$ a que ciertas constantes como $\gamma$ y simple (pequeño denominador) racionales. No se espera que esa forma existe en todos, pero por supuesto esto no es conocido (y probablemente no será en ningún momento).

Answer 5

Estoy esperando que te llegar a relacionar de alguna manera OEIS A104007

$\zeta (3) = c \cdot \pi^3/60$

$\zeta (5) = \cdot \pi^5/378$ c

$\zeta (7) = c \cdot \pi^7/2700$

donde $c$ es una constante o una función de $n$. La secuencia 6,60,90,378,945,2700 son los denominadores de los coeficientes en la expansión de $\frac {x ^ 2} {(1-e ^ {-2 x}) ^ {2}} $.