Estoy bastante seguro de que entiendo el significado del "interior" de un conjunto, pero no puedo averiguar cómo demostrar de forma concluyente cuál es dicho interior para un conjunto dado. Consideremos esta definición:
Dejemos que $S$ sea un subconjunto de $\mathbb{R}$ . Un punto $x\in\mathbb{R}$ es un punto interior de $S$ si existe una vecindad $N$ de $x$ tal que $N\subseteq S$ . El conjunto de todos los puntos interiores de $S$ se denota por $\operatorname{int} S$ (o en algunos textos, $S^\circ$ )
Estos ejemplos fueron extraídos de los problemas de práctica de mi libro de texto, que sólo da la respuesta final sin mostrar el porqué.
Dado el conjunto $[0,3]\cup(3,5)$ ¿Qué es el interior? Intuitivamente puedo mirar esto y concluir que $[0,3]\cup(3,5)=[0,5)$ y el interior es todo menos los puntos límite, es decir $(0,5)$ .
Esto puede ser suficientemente concluyente para un ejemplo tan simple, pero ¿qué pasa con los conjuntos $S=\{1/n\mid n\in\mathbb{N}\}$ y $T=\{r\in\mathbb{Q}\mid 0<r<\sqrt{2}\}$ ? Sé que $S^0=T^0=\emptyset$ como todos los puntos de $S$ y $T$ son puntos aislados. Pero no sé cómo respaldar esa afirmación.
Tomando $S$ Utilizando la definición que he pegado más arriba, creo que debería intentar demostrar que para cada $x\in S$ no existe una vecindad de $x$ que es un subconjunto de $S$ pero no sé cómo proceder con esto.
