Uso de multiplicadores de Lagrange para maximizar la función

Question

Utilizar los multiplicadores de Lagrange para maximizar la función

$$f(x,y)=6xy,$$

sujeto a la restricción

$$2x+3y=24.$$

$$F(x,y,\lambda)=6xy+\lambda(2x+3y-24)$$

$$F_{x}=6y+2\lambda=0$$

$$F_{y}=6x+3\lambda=0$$

$$y = - \frac{1}{3} \lambda$$

$$x = - \frac{1}{2} \lambda$$

$$\frac{3}{2}y= - \frac{1}{3} \left( \frac{3}{2} \right) \lambda = - \frac{1}{2} \lambda=x$$

No estoy seguro de dónde está el $(3y)/2$ vino de. ¿Puede alguien ayudarme con esto? Ya sé qué hacer después. Muchas gracias.

Answer 1

Has encontrado $x=-\lambda/2$ y $y=-\lambda/3$ . Ahora introduzca esto en la restricción y obtenga $$24=2x+3y=-\lambda-3\lambda\ .$$ De ello se desprende que necesariamente $\lambda=-6$ para que usted obtenga $x=3$ , $\>y=2$ . Por tanto, existe un único punto condicionalmente estacionario $P=(3,2)$ .

Para demostrar que $f(P)=36$ es efectivamente el máximo global de $f$ para la restricción dada se necesita algún argumento cualitativo. A este respecto, hay que tener en cuenta que $f$ es negativo en el segundo y cuarto cuadrante, y que no hay puntos que cumplan la restricción en el tercer cuadrante. Por lo tanto, se trata del segmento que une los puntos $(0,8)$ y $(12,0)$ . Hay una única hipérbola $6xy={\rm const.}$ que toca este segmento, y la constante correspondiente $(=36)$ realiza la $\max$ de $f$ bajo la restricción.