equivalencia de la mensurabilidad

Question

Este es un ejercicio de análisis real:

Dejemos que $E\subset {\Bbb R}^d$ . Para cada $\varepsilon>0$ se puede encontrar un conjunto medible de Lebesgue $E_{\varepsilon}$ tal que $m^*(E_{\varepsilon}\Delta E)\leq\varepsilon$ . Demostrar que $E$ es medible por Lebesgue.

La definición de medible de Lebesgue utilizada aquí es

Dejemos que $E\subset{\Bbb R}^d$ , $E$ es medible por Lebesgue si para cualquier $\varepsilon>0$ existe un conjunto abierto $U\supset E$ tal que $m^*(U\setminus E)\leq\varepsilon$ , donde $m^*$ es la medida exterior de Lebesgue.

Utilizar directamente la definición anterior puede ser difícil. Intento utilizar el hecho de que los conjuntos medibles de Lebesgue forman un $\sigma$ -Álgebra. Pero no veo la forma de escribir $E$ como una unión de conjuntos medibles de Lebesgue. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

He aquí un enfoque alternativo, trabajando más o menos directamente a partir de las definiciones. Dejemos que un $\varepsilon>0$ se dé; quiero producir una $U\supseteq E$ con $m^*(U-E)\leq\varepsilon$ . Aplicar la hipótesis dada con $\varepsilon/2$ en lugar de $\varepsilon$ para obtener un conjunto medible $E'$ tal que $m^*(E\triangle E')\leq\varepsilon/2$ . Desde $E'$ es medible, existe una $V\supseteq E'$ con $m^*(V-E')\leq\varepsilon/2$ . Además, por definición de $m^*$ Hay un espacio abierto $W\supseteq E\triangle E'$ con $m(W)\leq\varepsilon/2$ . Sea $U=V\cup W$ . Entonces $U$ siendo la unión de dos conjuntos abiertos, es abierta. También, $U\supseteq E$ En efecto, para cualquier $x\in E$ Si $x\in E'$ entonces $x\in V$ y por otra parte $x\in E\triangle E'\subseteq W$ Así que en cualquier caso $x\in U$ . Queda por demostrar que $m^*(U-E)\leq\varepsilon$ y para ello basta con demostrar que $U-E\subseteq(V-E')\cup W$ porque ambos $V-E'$ y $W$ tienen medida (exterior) $\leq\varepsilon/2$ y la medida externa es subaditiva y monótona. Por lo tanto, consideremos cualquier $x\in U-E$ Quiero demostrar que $x$ está en (al menos uno de) $V-E'$ o $W$ . Por definición de $U$ , $x$ está en $V$ o en $W$ y si está en $W$ entonces hemos terminado, así que a partir de ahora supongamos $x\in V$ . Si $x\notin E'$ entonces $x\in V-E'$ así que de nuevo hemos terminado. Sólo queda el caso de que $x\in E'$ . Pero $x\notin E$ Así que $x\in E\triangle E'\subseteq W$ y volvemos a terminar.

Answer 2

Para cualquier $\varepsilon>0$ existe una familia de conjuntos medibles en L $\{E_{\varepsilon,n}\}_{n=1}^{\infty}$ tal que $$ m^*(E_{\varepsilon,n}\Delta E)\leq \varepsilon/2^n $$ Dejemos que $$ E_{\varepsilon}=\cup_{n=1}^{\infty}E_{\varepsilon,n}. $$ Entonces $E_{\varepsilon}$ es medible en L y $$ E\setminus E_{\varepsilon}\subset E\setminus E_{\varepsilon,n} $$ para todos $n$ . Por monotonicidad de la medida exterior de Lebesgue, $$ m^*(E\setminus E_{\varepsilon})\leq m^*( E\setminus E_{\varepsilon,n})\leq \varepsilon/2^n $$ Así, $m^*(E\setminus E_{\varepsilon})=0$ lo que implica que $E\setminus E_{\varepsilon}$ es medible en L. Se deduce que para cualquier $\varepsilon>0$ tenemos un conjunto medible L $$ E'_{\varepsilon}=(E\setminus E_{\varepsilon})\cup E_{\varepsilon}\supset E $$ con $m^*(E'_{\varepsilon}\setminus E)=m^*(E_{\varepsilon}\setminus E)\leq\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon/2^n=\varepsilon$ .

Ahora considere $E'_{1/n}$ y que $E'=\cap_{n=1}^{\infty}E'_{1/n}$ . Entonces $E'$ es medible en L y $E'\supset E$ . También tenemos $$ m^*(E'\setminus E)\leq m^*(E'_{1/n}\setminus E)\leq 1/n $$ para todos $n$ . Así, $m^*(E'\setminus E)=0$ y por lo tanto $E'\setminus E$ es medible en L. De ello se deduce que $E=E'\setminus(E'\setminus E)$ es medible en L. Q.E.D