serie $\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty \frac{(m+n-1)!}{m!(n-1)!n!(m-1)!}a^m b^n.$

Question

¿Puede alguien ayudarme con el cálculo de las siguientes series?

$$\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty \frac{(m+n-1)!}{m!(n-1)!n!(m-1)!}a^m b^n.$$

Mis pensamientos: Desde $$\displaystyle \frac{(m+n-1)!}{m!(n-1)!n!(m-1)!} = \frac{\binom{m+n-1}{m}\binom{m+n-1}{m-1}}{(m+n-1)!},$$ por algún arreglo esto puede ser la probabilidad de una distribución hipergeométrica.

Se agradece cualquier ayuda, ¡gracias!

Answer 1

Voy a esbozar un desagradable truco que permite demostrar $$ \sum_{m,n\geq 0}\frac{(m+n)!}{m!^2 n!^2}a^m b^n = e^{a+b} I_0(2\sqrt{ab}) \tag{1}$$ y de manera similar $$ \sum_{m,n\geq 1}\frac{(m+n-1)!}{m!(m-1)! n!(n-1)!}a^m b^n = \sqrt{ab}\, e^{a+b} I_1(2\sqrt{ab})\tag{2}$$ Aplicamos dos transformadas de Laplace: la primera transforma mapea el $a$ -en la variable $s$ -y la segunda transformación asigna la variable $b$ -en la variable $t$ -variable. La doble transformación de Laplace del LHS de $(2)$ es igual a $$ \frac{1}{(s+t-st)^2}=\frac{1}{\left[1-(1-s)(1-t)\right]^2}=\sum_{h\geq 0}\frac{(h+1)}{(1-s)^{h+2} (1-t)^{h+2}}\tag{3} $$ y aplicando la doble-inversa-trasformación (debe ser la doble transformación inversa ? No estoy muy seguro) a los términos que aparecen en el RHS de $(3)$ obtenemos que el LHS de $(2)$ es igual a $$ e^{a+b}\sum_{h\geq 0}\frac{(-a)^{h+1}(-b)^{h+1}(h+1)}{\Gamma(h+2)^2} = \sqrt{ab}\, e^{a+b} I_1(2\sqrt{ab}).\tag{4}$$ Si ambos $a$ y $b$ son $\gg 1$ esto es aproximadamente $$ \frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\left[(ab)^{1/4}-\tfrac{3}{16}(ab)^{-1/4}\right]. \tag{5} $$

Answer 2

Una forma factible de simplificarlo:

desde $$\sum_{m=1}^\infty \frac{(m+n-1)!}{m!(m-1)!} a^m = \sum_{m=1}^\infty\frac{m(m+1)...(m+n-1)}{m!}a^m,$$

cuando $a>0$ se puede utilizar la fórmula del momento factorial de la distribución de Poisson para simplificar esta serie, y el mismo procedimiento se puede aplicar a la serie de n.