Dejemos que $\Omega$ sea un dominio abierto en $\mathbb{R}^n$ , $u\in W^{1,2}(\Omega)$ y asumir que para cualquier $y$ en $\Omega$
$$\lim_{\varrho \to 0} \operatorname{osc}(u,B(y,\varrho)) \rightarrow 0 , \varrho \rightarrow 0$$ donde $$\operatorname{osc}(u,B(y,\varrho))= \sup_{x\in B(y,\varrho)} u(x)-\inf_{x\in B(y,\varrho)} u(x)$$
¿cómo puedo demostrar que $${\bar{u}}(x)=\lim_{\varrho \rightarrow 0} \frac{\int_{B(x,\varrho)} u(y) dy }{\operatorname{meas} B(x,\varrho)}$$
es continua en $\Omega$ ?
EDIT: Me refiero siempre a supremos, infimos y oscilaciones esenciales, es decir, ignorando los conjuntos de medida cero.
