Resolver las inecuaciones para que $x \rightarrow a^x$

Question

La función exponencial $x \rightarrow a^x$ con $0 < a < 1$ es decreciente en $\mathbb{R}$ .

Teniendo en cuenta esta propiedad, resuelve las siguientes desigualdades:

a. $(\frac{1}{3})^{2x} \le (\frac{1}{3})^{x+1}$

b. $0.1^{2-x}>0.1^{3x}$

Lo hice:

a. $$2x \le n+1 \Leftrightarrow 2x-x \le 1 \Leftrightarrow x \le 1$$

b. $$2-x > 3x \Leftrightarrow \frac{2-x}{3} > x \Leftrightarrow -\frac{x}{3}-x > \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{x}{3}+x < \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{4x}{3} < \frac{2}{3} \Leftrightarrow 4x < 2 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}$$

Pero mi libro dice que la solución es $x \ge 1$ para a. y $x>\frac{1}{2}$ para b.

¿Qué he hecho mal? ¿He pasado por alto algo en relación con la propiedad dada?

Answer 1

Cuando los lados de una desigualdad se multiplican (o dividen) por un número negativo, la desigualdad se convierte en el lado opuesto.

Parece ser que tomaste la $\log$ de los lados para escribir sus desigualdades. en el primer caso, por ejemplo,

$$\log\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}\right) \le \log\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{x+1}\right)$$

$$2x\log\left(\frac{1}{3}\right) \le (x+1)\log\left(\frac{1}{3}\right)$$ Dividiendo los lados por $\log\left(\frac{1}{3}\right)$ $\color{red}{\text{which is negative}}$ rendimientos: $$2x\ge x+1\Rightarrow x\ge1$$ Desde $\frac{1}{3}<1$ y $0.1<1$ esto invertirá las desigualdades (ya que el resultado de $\log$ es negativo). Así que el resultado es $x\ge1$ y $x>\frac{1}{2}$ .

Answer 2

Parece que lo has conseguido. Sólo hay que corregir las desigualdades (direcciones). Por si acaso, aquí están las soluciones:

Utilicemos lo que se nos da: $f(x)=a^x$ es decreciente si $0<a<1$ .

$\textbf{a}$ : Consideremos la función $f(x)=(\frac{1}{3})^x$ . La información dada dice que si introducimos algo mayor, la imagen disminuirá. Tenemos $f(2x)\leq f(x+1) \iff 2x \geq x+1$ . Así, $x\geq 1$ . Para ser más rigurosos, en realidad lo que hemos utilizado aquí es lo siguiente: Una función $f$ es decreciente en un intervalo $I$ $\iff$ $\forall x_{1},x_{2} \in I$ , si $x_{1}\geq x_{2}$ entonces $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$ .

$\textbf{b}$ : Precisamente el mismo caso, ya que $0<0.1<1$ . Por lo tanto, $3x>2-x \implies x>\frac{1}{2}$ .

Espero que esto sea útil, TT.