Una prueba fácil: $\dbinom{n}{k}$ es siempre divisible por $n$

Question

¿Puede alguien darme una prueba fácil (de dos o tres líneas) para el hecho de que $\dbinom{n}{k}$ es divisible por $n$ para $k\not=0, n$ y $\gcd(n,k)=1.$
Aquí $\dbinom{n}{k}$ denota los coeficientes binomiales habituales.

Answer 1

$k>0$ Por lo tanto $\dbinom{n}{k}=\frac n k\dbinom{n-1}{k-1} $ Por lo tanto, si $\gcd(n,k)=1$ n divide $\frac n k\dbinom{n-1}{k-1} $

Bonificación : Prueba combinatoria de que $\dbinom{n}{k}=\frac n k\dbinom{n-1}{k-1} $ :

Si quieres elegir un equipo de k personas entre n con un jefe de equipo, puedes :

• elegir primero un líder (n posibilidades) y luego elegir los k-1 miembros restantes entre las n-1 posibilidades restantes

• elija primero a las k personas, y luego elija un líder entre el equipo de k personas.

Así, $k\dbinom{n}{k}=n \dbinom{n-1}{k-1}$