Como pediste, aquí está la cuadratura y se muestra cómo resolver para tu ejemplo específico, con bastantes pasos incluidos para que te sea más fácil seguirlo:
\begin {align} y & = \sqrt {x^2 + 10036x - 10015} \\ y^2 & = x^2 + 10036x - 10015 \\ y^2 & = x^2 + (2 \times 5018)x + 5018^2 - 5018^2 - 10015 \\ y^2 & = (x + 5018)^2 - 5018^2 - 10015 \\ y^2 - (x + 5018)^2 & = -25190339 \\ (x + 5018)^2 - y^2 & = 25190339 \\ (x + 5018 - y)(x + 5018 + y) & = 3181 \times 7919 \tag {1} \label {eq1} \end {align}
Nota: He utilizado el programa de WolframAlpha Calculadora de factoring online , volvió a comprobar que los números se multiplican con el original, y confirmó que son primos en Los primeros 10.000 primos .
Si quiere obtener cualquier solución, puede tener la $2$ factores de la izquierda sea cualquier combinación de los $2$ factores de la derecha, teniendo en cuenta en general que la paridad debe ser la misma que la diferencia entre los $2$ factores de la izquierda es $2y$ aunque no es un problema en este caso. Para cada caso, obtendrá $2$ ecuaciones en $2$ incógnitas que puedes resolver con relativa facilidad.
Por ejemplo, puede tener
$$x + 5018 - y = 3181 \tag{2}\label{eq2}$$ $$x + 5018 + y = 7919 \tag{3}\label{eq3}$$
Siguiente, \eqref {eq3} menos \eqref {req2} da $2y = 4738 \implies y = 2369$ . Así, desde \eqref {eq3}, se obtiene entonces $x = 7919 - 2369 - 5018 = 532$ . Esto da una posible solución de $(532,2369)$ que es el mismo que ya has encontrado. Para obtener los otros, si los hay, sólo tienes que resolver las otras combinaciones posibles de los factores, pero si sólo te preocupan los valores positivos de $x$ y $y$ no tiene que preocuparse de comprobar los factores negativos (p. ej, $-3181$ y $-7919$ ).
En particular, si deja que $F_1 = x + 5018 - y$ y $F_2 = x + 5018 + y$ los casos restantes son $F_1 = 1, F_2 = 25190339$ ; $F_1 = 25190339, F_2 = 1$ y $F_1 = 7919, F_2 = 3181$ . Confío en que puedas terminar el resto por ti mismo si así lo deseas.
