Convergencia en $L^p(0,T;L^q(\Omega))$

Question

Si $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ está acotado, $$f_n\to f\mbox{ in }L^q(0,T;L^p(\Omega)),\,1\leq q<\infty,\,1\leq p<2 $$ y $$f_n\to g\mbox{ weak-star in } L^\infty(0,T;L^2(\Omega)),$$ entonces $f=g$ en $L^\infty(0,T;L^2(\Omega))$ .

Prueba

Para todos $\varphi\in C^\infty_c([0,T]\times\Omega)$ $$\int_0^T\int_\Omega(f-g)\varphi\,dxdt=\int_0^T\int_\Omega(f-f_n)\varphi\,dxdt+\int_0^T\int_\Omega(f_n-g)\varphi\,dxdt.$$ Así, tenemos $$\int_0^T\int_\Omega(f-g)\varphi\,dxdt=0$$ como $n\to\infty$ .

Por lo tanto, $f=g$ en $L^\infty(0,T;L^2(\Omega))$ . $\blacksquare$

¿Es correcto?

Answer 1

Sí, su prueba es correcta. Es una forma común de demostrar que dos procesos limitantes tienen el mismo resultado:

1. Demostrar que cada noción de convergencia implica la convergencia distributiva (es decir, las integrales contra las funciones de prueba convergen)
2. Apelar al hecho de que los límites distributivos son únicos.