¿Hay alguna manera de simplificar la siguiente expresión en una forma no radical?

Question

¿Hay alguna manera de simplificar la siguiente expresión en una forma no radical? $$ \sqrt{x_{1}^2-2x_{1}x_{2}+x_{2}^2+y_{1}^2-2y_{1}y_{2}+y_{2}^2+z_{1}^2-2z_{1}z_{2}+z_{2}^2} $$

Answer 1

La respuesta sencilla sería que no se puede.

Como puedes ver, la expresión dentro de la raíz cuadrada es:

$d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2$

Quizá le interese saber que $d$ es la distancia entre el punto con coordenadas $(x_1,y_1,z_1)$ y la de coordenadas $(x_2,y_2,z_2)$

Ahora, esto es una tangente a tu pregunta, pero si construyes un sistema de coordenadas esféricas centrado en el primer punto, tu expresión sería $r$ . Si no entiendes lo que $r$ es, comprueba esto:

http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system

Answer 2

Simplemente utilice $$(a-b)^2 = a^2 + b^2 -2ab$$

para reducirlo a $$\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}$$

que representa la distancia entre dos puntos $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ en el espacio euclidiano.

En términos de un vector de distancia ${\vec r}$ que apunta del primer al segundo punto, esto es simplemente $\sqrt{r^2} = \vert r \vert$ .

Answer 3

La función $$f(x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2)=\sqrt{x_{1}^2-2x_{1}x_{2}+x_{2}^2+y_{1}^2-2y_{1}y_{2}+y_{2}^2+z_{1}^2-2z_{1}z_{2}+z_{2}^2}$$ no es un polinomio, ni siquiera una función racional (sobre los números reales). Supongamos que fuera una función racional. Entonces $$g(x)=f(x,0,0,0,0,0)=\sqrt{x^2}=|x|$$ también tendría que ser una función racional - de una sola variable. Así que vamos a escribirla como $g(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ . Observe que $Q$ no tiene ceros (reales), por lo que es siempre positivo o siempre negativo. (Podemos suponer lo primero, si es necesario.) La relación $$P(x)=|x|Q(x)$$ es válida para todos los $x\in\mathbb R$ . Pero entonces $$R(x)=|x|Q(x)-xQ(x)$$ es un polinomio no constante con infinitos ceros, contradiciendo el teorema fundamental del álgebra.

Answer 4

Esto es justo:

$$\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}$$

No creo que haya una forma más bonita de representarlo que ésta.

Answer 5

Utilizando la notación vectorial, dejemos que $\vec r_1=\hat x_1x_1 +\hat y_1y_1+\hat z_1z_1$ y $\vec r_2=\hat x_2x_2+\hat y_2y_2+\hat z_2z_2$ .

Definir el vector $\vec r$ como el vector de $\vec r_1$ a $\vec r_2$ . Entonces, la magnitud de este vector es

$$\begin{align} |\vec r|&=|\vec r_2 -\vec r_1|\\ &=\sqrt{(x_2 -x_1)^2+(y_2 -y_1)^2+(z_2 -z_1)^2}\\ &=\sqrt{x_2^2+2x_1x_2+x_1^2+y_2^2+2y_1y_2+y_1^2+z_2^2+2z_1z_2+z_1^2} \end{align}$$

Así, el término de interés puede escribirse como $r =|\vec r|=|\vec r_2 -\vec r_1$ .|