¿Qué significa un punto en un círculo?

Question

Estoy examinando algunas fórmulas que involucran matrices (en el contexto del aprendizaje automático, pero no estoy seguro de que sea relevante) y me encontré con $\odot$. ¿Qué podría significar esto? El contexto es $M \odot N$, donde $M$ es una matriz y $N$ podría ser un vector, o una matriz, o un escalar, es un poco denso, por lo que es difícil de decir. Tengo motivos para creer que podría ser el producto de Hadamard, ¿hay algo más que podría significar?

Answer 1

En las ecuaciones de LSTM, el operador de punto en círculo se utiliza típicamente para representar la multiplicación elemento por elemento.

Answer 2

Cuando investigué sobre el símbolo. Obtuve dos cosas:

$1$. En el libro Meaning, Logic and Ludics-By Alain Lecomte, El escritor dice que: Sea $U$ y $B$ dos diseños positivos que denotamos el producto tensorial de $U$ y $B$ por $U$$B$.

$2$. En el libro Dag Prawitz on Proofs and Meaning: El escritor dice que $\alpha\beta$ significa que o bien $\beta $ se deriva de $\alpha$, o $\alpha$ se deriva de $\beta $.

Creo que el segundo tiene sentido, ya que siempre he visto el símbolo del producto tensorial siendo usado. Te proporcioné la información que tenía, espero que ayude.

Answer 3

Usamos la notación de círculo con punto en la mecánica de medios continuos no lineales. Se define en notación de índice como \begin{align} \left(\boldsymbol{M} \boldsymbol{N}\right)_{ABCD}= \dfrac{1}{2}\left(M_{AC}N_{BD}+M_{AD}N_{BC}\right) \end{align} donde $\boldsymbol{M}$ y $\boldsymbol{N}$ son tensores de segundo orden. El resultado de esta operación es un tensor de cuarto orden. Puedes pensar en él como relacionado con el producto externo de dos matrices o $\boldsymbol{M} \otimes \boldsymbol{N}$ en el sentido de que toma dos tensores de 2do orden y genera un tensor de 4to orden. Recuerda que el producto externo está definido para dos tensores de segundo orden como

\begin{align} \left(\boldsymbol{M} \otimes \boldsymbol{N}\right)_{ABCD}= M_{AB}N_{CD} \end{align}

La operación de círculo con punto $$ ocurre al calcular el módulo de elasticidad $\mathbf{\underline{C}}$ (un tensor de cuarto orden) a partir de leyes constitutivas. Ejemplos incluyen los modelos de materiales Mooney-Rivlin o Neohookean. Para obtener el módulo de elasticidad debes derivar tensores con respecto a otros tensores. Por ejemplo,

\begin{align} \underline{\mathbf{C}} = 2\dfrac{d\boldsymbol{S}}{d\boldsymbol{C}} \end{align} o en notación de índice como \begin{align} \text{C}_{ABCD} = 2\dfrac{\partial S_{AB}}{\partial C_{CD}} \end{align} donde $\boldsymbol{C}$ es el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo y $\boldsymbol{S}$ es el tensor de esfuerzo de Piola-Kirchhoff de 2do orden. Basado en los modelos constitutivos, que relacionan el esfuerzo en un material con la deformación, resulta que $\boldsymbol{S}$ es una función de la inversa de $\boldsymbol{C}$. Si lo trabajas, descubrirás que tendrás que calcular $\frac{\partial \boldsymbol{C}^{-1}}{\partial \boldsymbol{C}}$. La prueba es un dolor de cabeza pero el resultado es \begin{align} \dfrac{\partial \boldsymbol{C}^{-1}}{\partial \boldsymbol{C}} = -\boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{C}^{-1} \end{align} En notación de índice \begin{align} \dfrac{\partial C^{-1}_{AB}}{\partial C_{CD}} = -\dfrac{1}{2}\left(C^{-1}_{AC}C^{-1}_{BD}+C^{-1}_{AD}C^{-1}_{BC}\right)=-\left(\boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{C}^{-1}\right)_{ABCD} \end{align} La operación de círculo con punto solo surge porque $\boldsymbol{C}$ es una matriz simétrica, es decir, $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C}^{T}$ y $\boldsymbol{C}_{sym}=\dfrac{1}{2}\left(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{C}^{T}\right) = \boldsymbol{C$. Ten en cuenta que si tomas la derivada de la inversa de un tensor no simétrico con respecto a sí mismo obtienes \begin{align} \dfrac{\partial A_{AB}^{-1}}{\partial A_{CD}}=-A^{-1}_{AC}A^{-1}_{DB} \end{align} y esto no es el producto externo. Aún no se le ha dado un símbolo a esta operación.

Nota:

• el producto externo $\otimes$ también se llama producto tensorial.
• Los índices son letras mayúsculas ABCD ya que en la mecánica de medios continuos las letras mayúsculas denotan coordenadas lagrangianas/materiales (o configuración de referencia). Los índices en minúsculas ijkl denotan coordenadas espaciales/eulerianas.

Addendum: Otros usos que he visto para $$ incluyen

1. En física, lo he visto significar una fuente puntual como una carga puntual o una fuente de gravedad como un planeta.
2. En física, lo he visto significar que el vector apunta fuera de la página $$. Y $\otimes$ significa que la dirección del vector es dentro de la página. Lo he visto en E&M para campos B y campos E y en mecánica para torques.
3. En matemáticas podría significar un operador de composición de funciones, que mapea funciones a funciones, por ejemplo, $\,fg$.

Esto es lo que creo que se usa en esa conferencia de redes neuronales de memoria a largo y corto plazo https://www.youtube.com/watch?v=iX5V1WpxxkY&feature=youtu.be a las 46:00.

En matemáticas, las composiciones funcionales suelen indicarse con un círculo pequeño $\circ$. Por ejemplo, las descripciones eulerianas $f(\boldsymbol{x},t)$ y lagrangianas $F(\boldsymbol{X},t)$ están relacionadas entre sí por una composición de funciones: \begin{align} F(\boldsymbol{X},t)=f(\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{X},t),t) \textrm{ or } F = f \circ \boldsymbol{\Phi} \end{align}