Estoy confundido con la siguiente propuesta
Propuesta . Dejemos que $U,V$ son conjuntos abiertos en $\mathbf{C}$ . Si $f:U\to V$ es holomorfa y biyectiva, entonces la inversa $f^{-1}:V\to U$ también es holomorfo.
La prueba de la proposición piensa que la continuidad de $f^{-1}$ es obvio, pero me parece que es realmente difícil de probar usando $\epsilon-\delta$ definición. ¿Alguien puede dar alguna pista?
De hecho, si $f'(a)=0$ para algunos $a\in U$ entonces la expansión de Taylor en $a$ es de la forma $f(z)=f(a) + c_n (z-a)^n+\dots$ con $n\ge 2$ , $c_n\ne 0$ . Esto implica que $g(z) = (f(z)-f(a))/(z-a)^n$ es una función holomórfica no nula cerca de $a$ por lo que admite un $n$ raíz de grado (una función $h$ tal que $h^n=g$ ). Por lo tanto, $$f(z) = f(a) + [(z-a)h(z)]^n$$ Desde $z\mapsto (z-a) h(z) $ es un mapa abierto, su imagen contiene una vecindad de $0$ en particular, contiene los puntos $\epsilon$ y $\epsilon \exp(2\pi i /n)$ para los pequeños $\epsilon$ . Estos dos puntos son enviados a uno, contradiciendo la inyectividad de $f$ .
Esto no es más que el teorema de la función inversa: escribir $f=u+iv$ se puede ver que el determinante jacobiano de $(x,y)\mapsto (u,v)$ es $|f'(z)|^2\ne 0$ .
También el teorema de la función inversa. Escribiendo la derivada de $f$ como $2\times 2$ matriz real, obtenemos algo de la forma $$\begin{pmatrix} a & b \\ -b& a\end{pmatrix}$$ debido a las ecuaciones de Cauchy-Riemann. La inversa de dicha matriz también es de esta forma: por lo tanto, $f^{-1}$ satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Una pista: Demostrar que $f^{\prime}(z)\neq 0$ para todos $z\in U$ . A continuación, utilice el Teorema de la función inversa para funciones analíticas.
He aquí un enfoque que utiliza formas diferenciales. Una vez que se establece $f'$ no tiene raíces y por lo tanto es un difeomorfismo local, y por lo tanto un difeomorfismo $U\to V$ , poned $w = f(z)$ y $g(w) = f^{-1}(w)$ . Entonces, si $\tilde\gamma = f\circ \gamma$ es una zona cerrada, con una parte de la misma. $C^1$ curva, \begin{align*} \oint_{\tilde\gamma} g(w)\,dw &= \oint_\gamma f^*(g\,dw)\\ &= \oint_\gamma z\,d(fz) \\ &= \oint_\gamma z\,\big(\partial_z f\,dz + \underbrace{\partial_{\bar z}f}_{=\ 0\ \text{because $f$ is holomorphic}}\,d\bar z\big) \\ &= \oint_\gamma z\,\partial_zf\,dz = 0, \end{align*} donde la última integral es $0$ porque $f$ es holomorfo. Por lo tanto, $g$ es holomorfa por el teorema de Morera.
Otra prueba:
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $U$ está conectado. Obviamente $f'$ no desaparece idénticamente en $U$ por lo que el conjunto $Z$ de ceros de $f'$ es cerrado y discreto en $U$ . Por el teorema del mapa abierto, $f:U\to V$ es un homeomorfismo, por lo que $f(Z)$ también debe ser cerrado y discreto. Es fácil comprobar que $g=f^{-1}$ es holomorfo en $V\setminus f(Z)$ y el teorema de Riemann sobre singularidades removibles muestra ahora que $g$ debe ser holomorfa en todo $V$ .
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