¿Por qué la suma de los recíprocos de los factoriales converge a $e$ ?

Question

Algunos compañeros me han preguntado por qué tenemos $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=e.$$ No pude decir mucho además de que el $\Gamma$ función, continuación analítica del factorial, se define con una integral que implica $e$ . Entonces también sé que en realidad $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=e^x.$$ ¿Hay alguna razón para estos hechos?

P.D. He añadido la etiqueta "intuición", por favor, elimínala si crees que no es pertinente.

Answer 1

Por definición, $$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n.$$ Utilizando el teorema del binomio, el $k^{th}$ plazo del desarrollo es $${\binom nk}\frac1{n^k}=\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!.n.n.n\dots n},$$ y $$\lim_{n\to\infty}{\binom nk}\frac1{n^k}=\frac1{k!}.$$

Por ejemplo, $$\left(1+\frac1{1000}\right)^{1000}=\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac{0.999}{2!}+\frac{0.997002}{3!}+\frac{0.994010994}{4!}\dots$$

Answer 2

Estas dos sumas conocidas son las series de Taylor para $e^x$ sobre $0$ . Para obtener $e$ mismo, se evalúa esta serie en $x=1.$

Derivación: El $n$ de la Serie Taylor de una función $f$ sobre $a$ es

$$ \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n.$$

Pero si $f(x) \triangleq e^x$ entonces $f'(x) = e^x$ y por un argumento inductivo, $f^{(n)}(x) = e^x$ para cada número entero positivo $n.$ Tomando la serie sobre $a = 0,$ el $n$ El término es

$$ \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n = \frac{e^a}{n!} (x-a)^n = \frac{e^0}{n!} (x-0)^n = \frac{x^n}{n!}.$$

Es decir, la serie de Taylor de $e^x$ en función de $x$ sobre $0$ es

$$ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}, $$

y al establecer $x=1$ obtenemos

$$ e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}, $$

Answer 3

Ya que está llamando a por intuición, una versión término a término . Intuitivamente, el coeficiente factorial inverso $\frac{1}{n!}$ es el más natural, ya que da lugar a " algún tipo de invariancia a la diferenciación ", ya que:

$$\left(\frac{x^n}{n!}\right)' = \left(n\frac{x^{n-1}}{n!}\right) = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = \frac{x^{m}}{m!}$$ con $m= n-1$ .

Es posible que sepas, y empieces, una propiedad fundamental de la exponencial natural: es igual a su derivada. Entonces, supongamos que
$$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n{x^n}\,,$$ es igual a su derivada. Entonces, formalmente (me salto las cuestiones de convergencia), $$ f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n{x^{n-1}}\,,$$ así por reindexación: $$ f'(x) = \sum_{n=0}^\infty (n+1) a_{n+1}{x^{n}}\,,$$ entonces, se debe tener, término por término: $$ a_n= (n+1) a_{n+1}\,,$$ por lo que $$ a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1} =\frac{a_0}{(n+1)!}\,.$$ Como el exponencial es el recíproco al $\log$ , usted requiere que $f(0)=1$ Por lo tanto $a_0=1$ . Así que, naturalmente,

$$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=e^x\,,$$ y $$ f(1) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=e\,.$$

Answer 4

Aquí hay una prueba completa y rigurosa, que no utiliza series de potencia/función exponencial. Supongamos que sólo estamos aprendiendo sobre límites y series - no aprendimos sobre la convergencia uniforme, etc.

Tome esto como la definición de $e$ : $e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac 1 n)^n$ . Entonces es trivial demostrar que para cualquier FIXED $N$ por muy grande que sea (pero FIJA), también tenemos $\lim_{n\to\infty}(1 + \frac 1 n)^{n+N} = e$ también.

Dejemos que $S_n = \sum_{k=0}^n\frac 1 {k!}$ . Por el teorema del binomio, $(1+\frac 1 n)^n \le S_n$ para todos $n$ por lo que obtenemos que la suma de la serie infinita es al menos $e$ (comparación término a término: ${n \choose k} \cdot \frac 1 {n^k} \le \frac 1 {k!}$ para todos $k$ de $0$ a $n$ ). Esta es la parte fácil.

Para la otra parte, FIJA un número natural N (aunque sea grande, pero FIJO). De nuevo por el teorema del binomio, y mediante el mismo tipo de cálculo, tenemos $S_N \le (1+\frac 1 n)^{n+N}$ . Sólo necesitamos el primer $N+1$ términos de la suma expandida del teorema del binomio; $\frac 1 {k!} \le { n+N \choose k} \cdot \frac 1 {n^k}$ . Ahora mantenga $N$ fijo y dejar que $n \to \infty$ Esto demuestra que $S_N \le e$ . Por último, como esto es cierto para TODOS los $N$ obtenemos la desigualdad inversa: la suma de la serie de los inversos de los factoriales es $\le e$ . Por cierto, esto también muestra que la serie converge (lo que podríamos ver de otras maneras, pero esto por sí mismo es una prueba completa - mostramos que las sumas parciales están limitadas por $e$ ).

Answer 5

Este es un enfoque.

Dejemos que $b > 1$ . Si se calcula la derivada de la función $b^x$ , se encuentra que la respuesta es simplemente $b^x$ multiplicado por una (molesta) constante.

Hay un valor de $b$ para el que esta constante es igual a $1$ . ¡Qué bien! Con este valor especial de $b$ la derivada de $b^x$ es sólo $b^x$ lo mismo que empezamos. Esa es una propiedad muy limpia para que una función tenga.

Este valor especial de $b$ es $e = 2.718 \ldots$ .

Ahora es fácil calcular la serie de Taylor de la función $e^x$ (centrado en $0$ ). Encontramos que \begin {Ecuación} \tag { $\spadesuit$ } e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \cdots. \end {Ecuación} Esto viene directamente de la fórmula de la serie de Taylor \begin {ecuación} f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac {f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots. \end {Ecuación}

Enchufando $x = 1$ en ( $\spadesuit$ ) produce \begin {Ecuación} e = \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac {1}{n!}. \end {Ecuación}