Acción de grupo fiel y correspondencia de Galois

Question

Dejemos que $L|K$ sea una extensión de campo finito y sea $H$ sea un subgrupo normal del grupo de Galois Gal $(L|K)$ . Quiero demostrar que la extensión Fix $_HL|K$ es una extensión de Galois, donde $M=$ Fijar $_HL$ es el campo fijo de $H$ .

A partir del conocimiento de las acciones de grupo sabemos que Gal $(L|K)$ actúa sobre $L$ y como $H$ es un subgrupo normal de Gal $(L|K)$ actúa sobre $M$ también. También he demostrado que $H=H^{\prime}$ , donde $H^{\prime}$ es el núcleo del homomorfismo de grupo $$\varphi: \text{Gal}(L|K)\to S(M)$$ donde $S(M)$ denota el grupo de permutación de $M$ . Así, $Gal(L|K)/H$ actúa fielmente en $M$ .

Ahora $[L:K]=[L:M][M:K]\implies \dfrac{[L:K]}{[L:M]}=[M:K]$ .

Pero $\dfrac{[L:K]}{[L:M]}=\dfrac{\#\text{Gal}(L|K)}{\#H}$ . He terminado si puedo demostrar que $\dfrac{\#\text{Gal}(L|K)}{\#H}=\#\text{Gal}(M|K)$ . Pero no pude entender cómo mostrar esto a partir de la información que $Gal(L|K)/H$ actúa fielmente en $M$ . Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Quieres decir que $L/K$ es Galois, $G = Gal(L/K)$ , $H$ un subgrupo normal, $L^H$ su campo fijo.

Además $K= L^G$ (puede tomar $K = L^G$ como la definición de $L/K$ es Galois con grupo Galois $G$ )

Para $\sigma \in G$ entonces $\sigma(L^H) = L^{\sigma H \sigma^{-1}}$ . Como $H$ es normal entonces $\sigma H \sigma^{-1} = H$ así que $\sigma(L^H) =L^H$ y $\sigma |_{L^H} \in Gal(L^H/K)$ .

La restricción a $L^H$ envía $G$ a $G/ \ker(\sigma \to \sigma|_{L^H}) = G/ Gal(L/L^H) = G/H$ .

Por lo tanto, tiene sentido mirar el subcampo fijo $(L^H)^{G/H} = L^G = K$ lo que implica $L^H/K$ es Galois con grupo Galois $G/H$ .

Si $L/K$ no es Galois, entonces dejemos que $H = \{1\}$ para ver que no puede funcionar.