Calcular $\arctan x$ si $\arcsin x$ ¿se conoce?

Question

No he podido averiguar usando las identidades convencionales, para calcular otra si se conoce una. Digamos que $\arcsin x$ es conocido, lo que es $\arctan x$ ¿en términos del término anterior?

Esto no es tan fácil como parece.

¿Cómo puedo utilizar las leyes de la trigonometría para resolver este problema aparentemente sencillo?

Answer 1

¡¡Esto parece un poco tramposo!! $tan^{-1}(x)$ = $tan^{-1}(sin(sin^{-1}x))$

Lo único que se me ocurre es algo parecido a $sin^{-1}(x)+cos^{-1}(x)=\pi/2$

Una mirada rápida en Wolfram Alpha sugiere muchas fórmulas pero ninguna utiliza explícitamente $sin^{-1}(x)$ así que supongo que no hay respuesta a su pregunta. Pero es una pregunta interesante.

Answer 2

Puede utilizar el hecho de que $\sin(\arctan(x))) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ .

Por lo tanto, $\arctan(x) = \arcsin(\sin(\arctan(x)) = \arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$ .

Edición: Me acabo de dar cuenta de que no estoy usando $\arcsin(x)$ sino otro valor, por lo que técnicamente esta respuesta no es muy relevante.