Cohomología del álgebra de Lie fantasma
Dejemos que $\mathfrak{g}$ sea nuestra álgebra de Lie y $V_\rho$ un espacio de representación con un mapa de representación $\rho : \mathfrak{g} \to \mathrm{End}(V_\rho)$ . $V_\rho$ es, por la acción a través de la representación, naturalmente un $\mathfrak{g}$ -(las personas que no tienen la estructura del anillo en $\mathfrak{g}$ - simplemente incrustarlo en el álgebra envolvente universal ). Definimos el Complejo Chevally-Eilenberg como el complejo de $V_\rho$ -formas diferenciales valoradas en $\mathfrak{g}$ :
$$ \dots \overset{\mathrm{d}}{\to} \Lambda^{p-1}\mathfrak{g}^* \otimes V_\rho \overset{\mathrm{d}}{\to} \Lambda^{p}\mathfrak{g}^* \otimes V_\rho\overset{\mathrm{d}}{\to} \Lambda^{p+1}\mathfrak{g}^* \otimes V_\rho\overset{\mathrm{d}}{\to}$$
cuya cohomología llamamos Cohomología del álgebra de Lie de $\mathfrak{g}$ con coeficientes en $V_\rho$ . Ahora, el algebrista está perturbado: Hay un feo diferencial en nuestro complejo, ¡que estropea la diversión! Construyamos una expresión de operador para ello:
Recordemos que, en $\Lambda^p \mathfrak{g}^*$ tenemos dos operaciones naturales:
Contracción que es
$$\iota : \Lambda^1 \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g} \to \Lambda^0 \mathfrak{g}^*, (\omega,G) \mapsto \omega(G)$$
ampliado a todos $\Lambda^p\mathfrak{g}^\ast$ al establecer $\iota(\omega \wedge \xi,G) = (\omega\wedge\xi)(G) \wedge (-1)^{\mathrm{deg}(\omega)}\omega\wedge(\xi(G))$ y el producto de cuña que es
$$\wedge : \Lambda^p \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g}^* \to \Lambda^{p+1} \mathfrak{g}^*, (\omega,k)\mapsto k\wedge\omega $$
y estos definen dos operadores $\iota_G = \iota(-,G)$ y $\wedge_k = k \wedge -$ actuando sobre $p$ -formas.
Ahora, elija cualquier base canónicamente dual de $\mathfrak{g}$ resp. $\mathfrak{g}^*$ Llamémoslos $T_a$ resp. $S^a$ y escribir
$$ \mathrm{d} = \wedge_{S^a}\rho(T_a) - \frac{1}{2}\wedge_{S^a}\wedge_{S^b}\iota_{[T_a,T_b]}$$
Utilizándolo en los elementos de base de $\Lambda^{p}\mathfrak{g}^* \otimes V_\rho$ podemos demostrar por cálculo directo que esto es efectivamente el diferencial del complejo de Chevalley-Eilenberg, y por tanto una expresión del operador para la diferencial. Definiendo $c^a := \wedge_{S^a}$ como el fantasma y $b_a := \iota_{T_a}$ como el antifantasma se obtiene que el diferencial de Chevalley-Eilenberg es efectivamente el operador BRST
$$ Q = \mathrm{d} = c^a\rho(T_a) - \frac{1}{2}f^c_{ab} c^a c^b b_c $$
¿Qué hace $Q$ ¿computar en física?
Clásicamente, aplicamos este enfoque a los espacios de fase/múltiples simplécticos $\mathcal{M}$ que poseen una acción de grupo (simplectomorfa) por un grupo de Lie $G$ y construimos el mapa de momento equivariante
$$ \mu : \mathcal{M} \to \mathfrak{g}^*$$
definida por ser equivariante bajo la acción coadyuvante de $G$ en $\mathfrak{g}^*$ y cumpliendo $\mathrm{d}(\mu(\dot{})(g)) = \omega(\rho(g),\dot{})$ con $\omega$ como la forma simpléctica. Si la acción de $G$ representa una simetría gauge, nos gustaría obtener la reducción coisotrópica $\tilde{\mathcal{M}} := \mathcal{M}/ G$ que no contiene redundancias. Definir el submanifold $M_0 := \mu^{-1}(0)$ y observar que el álgebra de Poisson de las funciones sobre $\tilde{\mathcal{M}}$ cumple con
$$ C^\infty(\tilde{\mathcal{M}}) = H^0(\mathfrak{g};C^\infty(M_0))$$
ya que la cohomología zeroth de un álgebra de Lie con coeficientes en un módulo consiste precisamente en los elementos del módulo que son invariantes bajo la acción del grupo y porque la proyección natural $\pi : \mathcal{M}_0 \to \tilde{\mathcal{M}}$ proporciona un pullback de las funciones en la reducción a $\mathcal{M}_0$ . No queremos repetir la derivación de la Complejo de Koszul aquí, basta con decir que $H^0(\mathfrak{g};C^\infty(M_0))$ se puede calcular mirando el complejo
$$ \dots \to \Lambda^2 \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M}) \to \Lambda \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M}) \to C^\infty(\mathcal{M}) \to 0$$
y la informática $H^0 = C^\infty(\mathcal{M}_0)$ y $H^p = 0$ de lo contrario, lo que lleva a la resolución proyectiva
$$ \dots \to \Lambda^2 \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M}) \to \Lambda \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M}) \to C^\infty(\mathcal{M}) \to C^\infty(\mathcal{M}_0) \to 0 $$
lo que permite, dado que el producto tensorial es exacto a la izquierda, una resolución proyectiva para $\Lambda^p \mathfrak{g}^* \otimes C^\infty(\mathcal{M}_0)$
Esto da lugar a un bicomplejo $C^{p,q} := \Lambda^p \mathfrak{g}^* \otimes \Lambda^q \mathfrak{g} \otimes C^\infty(\mathcal{M})$ de la que se desprende un complejo graduado habitual $\mathcal{C}^p$ puede ser construido por $\mathcal{C}^p := \bigoplus_{r + s = p}C^{r,s}$ que es el infame complejo BRST, y que puede escribirse como $\mathcal{C}^p = \Lambda^p(\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{g}^*) \otimes C^\infty(\mathcal{M})$
Con un poco de magia algebraica que involucra al Superálgebra de Poisson estructura de este complejo, uno puede volver a los pasos para derivar un explícito de para el diferencial de la cohomología fantasma para las álgebras de Lie, y obtener que, aquí,
$$ \mathrm{d} = \{Q,\dot{}\}$$
con $Q \in \mathcal{C}^1$ siendo el operador BRST clásico, y esta vez los fantasmas y antifantasmas son las imágenes de los generadores de $\mathfrak{g}$ y $\mathfrak{g}^*$ bajo la incrustación natural de estos en $\Lambda(\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{g}^*$ ).
Se puede encontrar una discusión más larga, pero aún así rápida y muy legible sobre esto en los apuntes de Josê Figueroa-O'Farrill sobre "Cohomología BRST" .
