Límite de una integral simple

Question

Necesidad de demostrar que $$\lim_{t\to 1^-}(1-t)\int_0^t\frac{g(s)}{(1-s)^2}ds=g(1)$$ para cualquier función continua $g(s)$ .

Intenté un cambio de variable $u=1/(1-s)$ que da $du=ds/(1-s)^2$ con $$(1-t)\int_1^{\frac{1}{1-t}}g(1-\frac{1}{u})du$$

No consigo averiguar cómo llegar al límite, dado que hasta ahora es correcto.

Answer 1

Según el teorema 5.13 de los "Principios del análisis matemático" de Rudin (ligeramente reafirmado)

Si $f$ y $h$ son reales y diferenciables en $(0,1)$ y si $h'(x)\neq 0$ en un barrio de $1$ y $h(x)\to +\infty$ como $x\to 1^-$ y además $f'(x)/h'(x)\to A$ como $x\to 1^-$ entonces $f(x)/h(x)\to A$ como $x\to 1^-$ .

Aplicando esto a $$ f(x)=\int_0^x\frac{g(s)}{(1-s)^2}\,ds\quad\text{and}\quad h(x)=\frac{1}{1-x}, $$ obtenemos (aquí utilizamos el teorema fundamental del cálculo y la propiedad de que $g$ es continua) $$ \frac{f'(x)}{h'(x)}=\frac{g(x)/(1-x)^2}{1/(1-x)^2}=g(x)\to g(1)\quad (x\to 1^-). $$ Por lo tanto, el límite que se busca (comprobar las condiciones) es también $g(1)$ .