$\def\RR{\mathbb{R}}\def\ZZ{\mathbb{Z}}\def\QQ{\mathbb{Q}}$ Aquí hay un ejemplo de una ecuación de esta forma que tiene soluciones racionales, y no tiene ningún obstáculo local para tener soluciones enteras, pero de hecho no tiene soluciones enteras: $$y^2 + 23 x^2 = 3.$$ Algunas soluciones racionales de esta ecuación son $(x,y) = (2/3, 1/3)$ , $(5/4, 1/4)$ y $(22/13, 1/13)$ . Obsérvese que, para cada $p$ , ya sea $(2/3, 1/3)$ o $(5/4,1/4)$ da una solución en $\mathbb{Z}_p$ . Evidentemente, también hay soluciones en $\RR$ . Es igualmente fácil ver que no hay soluciones en $\ZZ$ : Tendríamos que tener $|y| \leq \sqrt{3}$ Así que $y=-1$ , $0$ o $1$ y ninguno de ellos funciona.
Debemos buscar en el grupo de clase de $\QQ(\sqrt{-23})$ . El primer $(3)$ se divide en $\QQ(\sqrt{-23})$ como $\langle 3, 1+\sqrt{-23} \rangle \langle 3, 1-\sqrt{-23} \rangle$ . Cada uno de estos ideales no es principal.
Así que no hay un ideal principal en $\mathbb{Z}[\sqrt{-23}]$ con norma $3$ . De manera equivalente, no hay $x+y \sqrt{-23}$ en $\ZZ[\sqrt{-23}]$ con $N(x+y \sqrt{-23}) = 3$ . Equivalentemente, no hay solución en números enteros para $x^2+23 y^2 =3 $ . (Nota: El anillo de enteros en $\QQ[\sqrt{-23}]$ es en realidad $\ZZ[\frac{1+\sqrt{-23}}{2}]$ no $\ZZ[\sqrt{-23}]$ . Intentaré posponer este detalle para que importe el mayor tiempo posible).
Veamos de dónde provienen las soluciones racionales. El grupo de clase de $\QQ(\sqrt{-23})$ es $\mathbb{Z}/3$ con $\langle 3, 1+\sqrt{-23} \rangle$ sirviendo como generador. Obsérvese que eso significa que $\langle 3, 1+\sqrt{-23} \rangle^3$ debe ser principal. Así que debería haber un elemento de $\ZZ[\sqrt{-23}]$ con norma $27$ . De hecho, lo hay: $$2^2 + 23 \cdot 1^2 = 27.$$ Despejando un factor de $3^2$ de ambos lados, encontramos la solución $$\left( \frac{2}{3} \right)^2 + 23 \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 3.$$
El primer $13$ también se divide en factores no principales: $\langle 13, 4+\sqrt{-23} \rangle$ y $\langle 13, 4-\sqrt{-23} \rangle$ son ambos ideales primos con norma $13$ . Si lo he calculado correctamente, entonces $\langle 3,1+\sqrt{-23} \rangle$ y $\langle 13, 4-\sqrt{-23} \rangle$ están en la misma clase ideal, y sus ideales conjugados están cada uno en la otra clase. Así que $\langle 3,1+\sqrt{-23} \rangle \cdot \langle 13, 4-\sqrt{-23} \rangle^2$ debe ser un ideal principal de la norma $3 \cdot 13^2$ . En otras palabras, predecimos que debería haber una solución entera para $$x^2+ 23 y^2 = 3 \times 13^2 = 507$$ y efectivamente lo hay: $22^2 + 23 \cdot 1^2 = 507$ . Despejar $13^2$ de cada lado, encontramos la solución $(22/13, 1/13)$ . Por cierto, también es cierto que $\langle 3,1+\sqrt{-23} \rangle \cdot \langle 13, 4+\sqrt{-23} \rangle$ debería ser principal, por lo que debería haber una solución entera para $x^2+ 23 y^2 = 39$ y, efectivamente, lo hay: $4^2 +23 \cdot 1^2 = 39$ . Pero eso no sirve para encontrar soluciones racionales a $x^2+23 y^2 = 3$ .
El primer $2$ es un poco difícil. En $\ZZ[(1+\sqrt{-23})/2]$ el primer $2$ se divide en dos ideales no principales: $\langle 2, (1+\sqrt{-23})/2 \rangle$ y $\langle 2, (1-\sqrt{-23})/2 \rangle$ . Al igual que con el primer $13$ esto implica que debe haber un elemento de $\ZZ[(1+\sqrt{-23})/2]$ con norma $12$ Y lo hay: $(5 +\sqrt{-23})/2$ . Pero cuando se trata de eliminar los factores de $2^2$ , se obtiene la solución $(5/4, 1/4)$ que tiene el denominador $4$ en lugar de la $2$ que el ejemplo de $13$ te llevan a esperar. El extra $2$ es porque el anillo de enteros es $\ZZ[(1+\sqrt{-23})/2]$ no $\ZZ[\sqrt{-23}]$ .
En general, supongamos que tenemos una ecuación $y^2+ D x^2 = N$ . Para simplificar, supongamos que el anillo de enteros de $\QQ(\sqrt{-D})$ es $\ZZ[\sqrt{-D}]$ . Dejemos que $N$ como $p_1 p_2 \ldots p_r$ en $\ZZ$ . Para mayor simplicidad, supongamos que el $p_i$ son distintos y relativamente primos a $2D$ .
Encontrar soluciones a $x^2 + D y^2 = N$ en enteros corresponde a encontrar un ideal principal en $\ZZ[\sqrt{-D}]$ con norma $N$ . Tal ideal debe ser un factor como $\pi_1 \pi_2 \cdots \pi_r$ donde $N(\pi_i) = p_i$ . (Utilizando que el $p_i$ son distintos). Si cualquier $p_i$ sigue siendo primordial en $\ZZ[\sqrt{-D}]$ esto es sencillamente imposible ya que no existen primos de norma $p_i$ . Si $p_i$ se divide, entonces es $\pi_i \overline{\pi}_i$ , el producto de dos ideales primos con clases inversas en el grupo de clases. Para resolver $x^2+D y^2 = N$ , hay que mirar cada una de las $2^r$ productos en los que elegimos uno de $\pi_i$ y $\overline{pi}_i$ y ver si ese producto es principal en el grupo de clases. En nuestro ejemplo, el grupo de clases es $\ZZ/3$ y $r=1$ . Ninguno de los dos $\langle 3, 1+\sqrt{-23} \rangle$ ni su inversa es principal, por lo que no hay solución.
Para resolver $x^2+D y^2 = N$ en racionales equivale a resolver $x^2 + D y ^2 = M^2 N$ en enteros con la libertad de elegir $M$ . En otras palabras, ahora queremos saber si podemos encontrar algún ideal $\eta$ para que $\pi_1 \pi_2 \cdots \pi_r \eta^2$ es principal. Este es un cálculo mucho más fácil, porque sólo hay que comprobar una cosa en lugar de $2^r$ : Sustitución de $\pi_i$ por $\bar{\pi}_i$ cambia el producto por $\bar{\pi}_i/\pi_i=\bar{\pi}_i/p \sim \bar{\pi}_i^2$ , donde $\sim$ es la igualdad en el grupo de clase. Por lo tanto, o bien todos los $2^r$ productos son cuadrados (en el grupo de clase) o ninguno lo es.
Más cosas por resolver: Tratar cuando el anillo de enteros es mayor que $\ZZ[\sqrt{-D}]$ ; tratando con la ecuación $x^2-D y^2$ donde no tenemos la garantía de que la norma será positiva; tratando con ecuaciones $a x^2 + c y^2 = N$ . Te dejo todo esto.
