Aproximación de un coeficiente binomial mediante la fórmula de Stirling

Question

Estoy trabajando en un problema de modelización de una molécula de caucho como una cadena unidimensional formada por $N=N_{+}+N_{-}$ enlaces, donde $N_{+}$ puntos en el positivo $x$ -dirección a distancia $a$ y $N_{-}$ puntos en negativo $x$ -dirección a distancia $a$ .

Es trivial demostrarlo:

$$L = a(N_{+} - N_{-})$$

Dónde $L$ es la longitud total de la molécula de goma. También podemos ver que el número de formas de disponer los enlaces para conseguir una longitud $L$ está dada por:

$$\Omega(L)=\frac{N!}{N_{+}!N_{-}!}=\binom{N}{N_{+}}$$

Sin embargo, se me pide que demuestre que la entropía (definida por $S = k_{B}\ln(\Omega(L))$ ) puede escribirse aproximadamente como

$$S\approx N k_{B}\left[\ln(2)-\frac{L^{2}}{2N^{2} a^{2}}\right]\tag{1}$$

Por la aproximación de Stirling tenemos:

$$k_{B}\left[-N\left(\frac{N_{+}}{N}\ln\left(\frac{N_{+}}{N}\right)-\left(1-\frac{N_{+}}{N}\right)\ln\left(1-\frac{N_{+}}{N}\right)\right)\right]$$

Pero no veo la forma de relacionar esto con la aproximación para la entropía dada. Intenté una expansión de Taylor de los logaritmos, pero el álgebra se volvió rápidamente confusa y no proporcionó nada que se pareciera a $(1)$ .

Answer 1

$$ S = k_B \ln{N \choose N_+} \approx k_B N \,H\left(p \right)$$

donde $H(p)$ es el función de entropía binaria (en nats) y $$p=\frac{N_+}{N}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{L}{aN}\right)$$

Ahora, si podemos hacer la suposición (adicional) $\frac{L}{aN} \ll 1$ podemos hacer un Ampliación de Taylor de $H(p)$ alrededor de $p=1/2$ para que $$H(p)\approx \ln 2 - \frac{(1-2p)^2}{2 }= \ln 2 - \frac{L^2}{2 (aN)^2} $$

Alternativamente, como se señala en los comentarios, se podría utilizar la aproximación CLT de la distribución Binomial a una gaussiana, por lo que $$2^{-N}{N \choose N_+} \approx \sqrt{\frac{2}{ \pi N}} \exp{\left(-\frac{2(N_+-N/2)^2}{N}\right)}$$

$$ \log {N \choose N_+} \approx N \left(\ln 2 - 2\left(\frac{N_+}{N}-\frac{1}{2}\right)^2\right ) = N \left( \ln 2 - \frac{L^2}{2 (aN)^2}\right)$$