Necesito comprobar sólo un axioma para el bimódulo matricial hecho a partir de cierto bimódulo. Aquí algunas definiciones preparatorias.
Enfoque matricial. ( Vea aquí los detalles ) Para un espacio lineal arbitrario $V$ denotar por $M_n(V)$ el espacio lineal de matriсes cuyos elementos son vectores de $V$ . Considere $M_n(W)$ según la norma $M_n(\mathbb{C})$ - $M_n(\mathbb{C})$ -bimódulo con multiplicación externa definida por igualdades $$ (\alpha v)_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^n\alpha_{i,k}v_{k,j}\qquad\qquad (v \alpha)_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^n\alpha_{k,j}v_{i,k}\qquad\qquad v\in M_n(V), \alpha\in M_n(\mathbb{C}) $$ Supongamos que cada $M_n(V)$ está dotado de la norma $\Vert\cdot\Vert_{M_n(V)}$ tal que
- Para todos $v\in M_n(V), \alpha\in M_n(\mathbb{C})$ $$ \Vert \alpha v\Vert_{M_n(V)}\leq\Vert \alpha\Vert \Vert v \Vert_{M_n(V)}\qquad\qquad \Vert v \alpha\Vert_{M_n(V)}\leq\Vert \alpha\Vert \Vert v \Vert_{M_n(V)} $$
Donde consideramos $M_n(\mathbb{C})$ con la norma habitual del operador. - Para todos $v_1\in M_n(V)$ $v_2\in M_m(V)$ $$ \left\Vert\begin{pmatrix}v_1 & 0\\ 0&v_2\end{pmatrix}\right\Vert_{M_{n+m}(V)}=\max(\Vert v_1\Vert_{M_n(V)}, \Vert v_2\Vert_{M_m(V)}) $$
entonces el par $(V, \{\Vert\cdot\Vert_{M_n(V)}:n\in\mathbb{N}\})$ se denomina espacio de operadores. Las dos propiedades mencionadas anteriormente se denominan axiomas de Ruan.
Enfoque no matricial. ( Vea aquí los detalles ) Un unital $C^*$ -Álgebra $\mathcal{A}$ se llama propiamente infinito si existe una familia $\{S_n:n\in\mathbb{N}\}\subset\mathcal{A}$ tal que $S_k^*S_l=\delta_k^l 1_\mathcal{A}$ . Si $\mathcal{A}$ es un $C^*$ -de operadores acotados en el espacio de Hilbert, entonces $\{S_n:n\in\mathbb{N}\}$ es una familia de isometrías con imágenes ortogonales por pares.
Dejemos que $\mathcal{A}$ y $\mathcal{C}$ ser unital propiamente infinito $C^*$ -algebras con familias de "isometrías con imágenes ortogonales por pares" $\{S_n:n\in\mathbb{N}\}\subset\mathcal{A}$ y $\{T_n:n\in\mathbb{N}\}\subset\mathcal{C}$ .
Dejemos que $W$ sea contractivo unital normado $\mathcal{A}$ - $\mathcal{C}$ -bimodulo tal que para todo $w_1,w_2\in W$ tenemos $$ \Vert S_1 w_1 T_1^* + S_2 w_2 T_2^*\Vert=\max(\Vert w_1\Vert, \Vert w_2 \Vert) $$ Barry Johnson llamó a esta propiedad convexidad del operador.
Ahora queremos dotar al bimódulo de Ruan de una estructura de espacio de operadores. Para cada $M_n(W)$ definimos una norma $\Vert\cdot\Vert_{M_n(W)}$ por la igualdad $$ \Vert w\Vert_{M_n(W)}=\Vert\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n S_i w_{i,j} T_j^*\Vert,\qquad w\in M_n(W) $$ He comprobado que la segunda propiedad se cumple, pero no sé cómo demostrar la primera desigualdad. Debe ser un cálculo sencillo y directo.
