Tengo esta serie pero no estoy muy seguro de que mis cálculos sean correctos $$ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{(3n)!}{(n!)^3}\right) $$ $$ \left( \frac{(3(n+1)!}{((n+1)!)^3}\right)\cdot\left( \frac{(n!)^3}{(3n)!}\right) $$ $$ \left( \frac{(3(n+1)(3n)!}{((n+1)^3(n!)^3}\right)\cdot\left( \frac{(n!)^3}{(3n)!}\right) $$ y simplificando llegué a $$ \left( \frac{(3(n+1)}{(n+1)^3}\right) $$ $$ \left( \frac{(3n+3)}{(n^3+3n^2+3n+1)}\right) = 0 $$ por lo que la serie es convergente por la prueba de Ratio.
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Hay un error en su primer paso, de hecho por la prueba de la proporción obtenemos
$$ \frac{(3n+3)!}{((n+1)!)^3} \frac{(n!)^3}{(3n)!}=\frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^3} $$
desde $(3(n+1))!=(3n+3)!$ .
Para evitar la prueba de proporción podemos utilizar que
- $(3n)! =3n\cdot(3n-1)\cdot \ldots \cdot (n+1) \cdot n!\ge (n+1)^{2n} \cdot n! \ge n^{2n} \cdot n!$
y luego
$$ \frac{(3n)!}{(n!)^3} \ge \left(\frac{n^n}{n!}\right)^2 \to \infty$$
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Su pregunta es difícil de leer. Todo lo que veo son líneas de fórmulas sin vínculos entre ellas. ¿Qué se supone que significa esta línea por sí sola? $$ \left( \frac{(3(n+1)}{(n+1)^3}\right) ?$$ ¿Por qué $$ \left( \frac{(3n+3)}{(n^3+3n^2+3n+1)}\right) = 0 ?$$ cuando esta igualdad no se verifica para todos los valores de $n \in \mathbb N$ ?
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No será igual a 0 al dividir todo por n^3
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Sin enchufe $n = 1$ y verás que $$ \left( \frac{(3n+3)}{(n^3+3n^2+3n+1)}\right) \neq 0 $$ . ¿Quizás estás pensando en tomar un límite? Esto no está claro por lo que has escrito. Lo que intento decirte es que la forma en que has escrito tu pregunta no es clara. Dices que no estás seguro de que tus cálculos sean correctos, pero ¿dónde están esos cálculos de los que hablas? ¿Cuáles son los vínculos lógicos entre cada línea?
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Ver math.stackexchange.com/questions/534969/analysis-limit-of-3n-n3