cuestiones de uniones de conjuntos medibles

Question

Sé que las uniones incontables de conjuntos medibles no tienen por qué ser medibles. Pero estoy atascado en la siguiente pregunta:

Dados dos espacios $(X,\mathcal{M})$ y $(Y,\mathcal{N})$ , si $E\in \mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ es $\cup_y E_y$ un conjunto medible, donde $E_y =\{x;(x,y)\in E\}$ ?

Supongo que es medible, y $\cup_y E_y$ puede escribirse como una unión e intersección contable de conjuntos medibles en $\mathcal{M}$ . ¿Cómo demostrarlo?

Además, quiero saber si todo conjunto medible de Borel en $\mathbb{R}$ puede escribirse como una unión e intersección contable de conjuntos medibles (intervalos). Parece cierto porque en la definición de espacio medible, sólo contiene operaciones contables de la unión de conjuntos.

Suplemento: Acabo de notar que en la definición de Álgebra de Borel en Wikipedia. Utiliza directamente las operaciones de unión contable, intersección contable y complemento relativo para definir el álgebra de Borel. Pero en la definición de mi libro actual, el álgebra de Borel se define como el álgebra sigma generada por conjuntos abiertos.

Answer 1

El problema no es trivial. Dejemos que $\pi_X: X\times Y\rightarrow X$ la proyección sobre $X$ Es decir $\pi:(x,y)\mapsto x$ . Su pregunta es si $\pi(E)$ que es $\bigcup_yE_y$ pertenece a $\mathcal{M}$ para cualquier $E\in\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ La respuesta es no en general. Esto se puede estudiar en lo que se llama conjuntos analíticos y mensurabilidad universal. Un buen lugar para ver estas cosas es Measure Theory de Cohn, capítulo 8.

Uno de los principales resultados de toda esa teoría es el siguiente:

Teorema: Supongamos que $(X,\mathcal{M})$ es un conjunto medible. Sea $Y$ sea un espacio polaco dotado de la regla de Borel $\sigma$ --Álgebra (anotada por $\mathscr{B}(Y)$ ). Si $E\in \mathcal{M}\otimes\mathscr{B}(Y)$ entonces $\pi_X(E)$ es universalmente medible con respecto al espacio medible $(X,\mathcal{M})$ .

Algunos términos requieren una explicación:

• Un ejemplo de espacio polaco es la línea Real con el Borel $\sigma$ --Álgebra.
• Un conjunto es universalmente medible con respecto a $(X,\mathcal{M})$ si $E$ está en la finalización de $(X,\mathcal{M})$ para cualquier medida finita $\mu$ en $\mathcal{M}$ .

Contraejemplos en $R^2$ cosas están involucradas. Suslin construyó esos ejemplos.

Como nota al margen, el propio Lebesgue pensaba que la proyección de conjuntos medibles en el producto son medibles. Suslin encontró el error. Aquí hay un buen hilo conductor https://mathoverflow.net/questions/34142/projection-of-borel-set-from-r2-to-r1 con más información.

Answer 2

Un recordatorio para mí mismo: Los elementos de la $\sigma$ -generada por $A$ deben poder ser representados por uniones contables \intersections con la operación de complemento de los elementos en $A$ . De lo contrario, este $\sigma$ -El álgebra no es la más pequeña $\sigma$ -algebra contiene $A$ .