Recuperar la inversa tras la solución interativa de un sistema lineal

Question

He resuelto el sistema lineal $\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}$ con un solucionador iterativo. El problema está bien planteado ( $\mathbf{A}$ es invertible, $\mathbf{b} \ne \mathbf{0}$ bla, bla, bla).

La pregunta : ¿Es posible combinar $\mathbf{A}$ , $\mathbf{x}$ y $\mathbf{b}$ (todos conocidos), para obtener la inversa $\mathbf{A}^{-1}$ ?

El contexto : Estoy optimizando una función de $\mathbf{x}$ y los parámetros que estoy optimizando aparecen en $\mathbf{A}$ y $\mathbf{b}$ . Necesito saber la inversa de $\mathbf{A}$ para obtener las derivadas, es decir , $$ \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial p} = \mathbf{A}^{-1} \left( \frac{\partial \mathbf{b}}{\partial p} - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial p} \mathbf{x} \right) , $$ donde $p$ es uno de mis parámetros, y lo mismo para el hessiano. Una solución directa está fuera de cuestión porque la dimensión del problema es muy grande, así que no puedo almacenar y reutilizar uno de los factores triangulares. No se me ocurre nada por mi cuenta ni en los libros de texto, así que aquí estoy.

Answer 1

Cada columna de la inversa es la solución de $Ax = b$ cuando $b = e_1,e_2,\dots,e_n$ , donde $e_i$ son los vectores base estándar.

Como mínimo, encontrar $A^{-1}$ de la $x$ requerirían que se eligiera $n$ linealmente independiente $b$ s. Tal vez pueda optimizar en qué $b$ que seleccione.