¿Por qué es $D(x)$ ¿periódicamente?

Question

Dejemos que $D(x)$ definirse como $$D(x) = \begin{cases} 1 & \text{if $ x $ is rational} \\ 0 & \text{if $ x $ is irrational} \end{cases}$$

¿Por qué es $D(x)$ ¿una función periódica? Ciertamente no parece $\sin(x)$ o $x-\lfloor x\rfloor$ . Entonces, ¿por qué la gente dice que es periódica exactamente?

Answer 1

Cualquier número racional es un punto. Sea $q$ sea un número racional, entonces $D(x+q)=D(x)$ $\forall x$ porque si $x$ -- racional, entonces $x+q$ -- racional. Y si $x$ -- irracional, entonces $x+q$ -- irracional.

Answer 2

Porque $$(\forall x\in\mathbb R):D(x+1)=D(x).$$ ¿Es una razón suficiente?

Answer 3

Una función periódica es una función que vuelve al mismo valor a intervalos regulares. El período no es único, ya que, por ejemplo, sin(x)=sin(x+2npi) para cualquier número entero n.

La función D(x) es 1 cuando x es racional y cero en caso contrario. Entonces dejemos que b sea otro número racional. Como lo dicho x+b también es racional, ya que sumando dos fracciones obtenemos otra fracción. Como x+b es racional entonces D(x)=D(x+b)=1 y finalmente como cada entero es un número racional, ya que para el entero n podemos escribir n/1 tenemos D(x)=D(x+nb)=1.

Answer 4

Otra forma de justificar que $D$ es periódico es pensar en $D$ como dos funciones constantes asignadas por casos: $D_Q(x)=1$ para $x\in\mathbb{Q}$ y $D_I(x)=0$ para $x\notin\mathbb{Q}$ . Tanto los racionales como los irracionales son cerrados bajo la adición de un racional, por lo que ambos $D_Q$ y $D_I$ permanecen dentro de sus dominios cuando su argumento es traducido por un racional. Pero todas las funciones constantes son trivialmente periódicas (aunque sin período fundamental). Por tanto, también lo son $D_Q$ y $D_I$ en sus dominios, con período racional, y también lo es $D$ .